Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
.pdfВ. Вообще говоря, собственная функция оператора ˆ2 не будет
L
собственной функцией оператора ˆz , но можно построить такие
L
линейные комбинации собственных функций оператора ˆ2
L , кото-
рые будут собственными функциями ˆz
L
Г. все перечисленное неверно 329. Какие из перечисленных пар операторов имеют полную систему общих собственных функций?
ˆ2 |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
pˆ z |
А. L |
и Lx |
Б. Lx и Ly |
В. Lx и |
||
Г. никакие из перечисленных 330. Частица находится в состоянии, в котором квадрат орбиталь-
ного момента импульса имеет определенное значение, а проекция момента на ось z может принимать два значения. Волновая функция этого состояния
ˆ2 |
ˆ |
А. будет собственной функцией операторов L |
и Lz |
ˆ2 |
и не будет собствен- |
Б. будет собственной функцией оператора L |
|
ˆ |
|
ной функцией оператора Lz |
|
ˆ |
и не будет собствен- |
В. будет собственной функцией оператора Lz |
|
ˆ2 |
|
ной функцией оператора L |
|
Г. информации для ответа на вопрос недостаточно 331. Частица находится в состоянии, в котором проекция орби-
тального момента на ось z имеет определенное значение, а квадрат момента может принимать два значения. Волновая функция этого состояния
ˆ2 |
ˆ |
А. будет собственной функцией операторов L |
и Lz |
ˆ2 |
и не будет собствен- |
Б. будет собственной функцией оператора L |
|
ˆ |
|
ной функцией оператора Lz |
|
ˆ |
и не будет собствен- |
В. будет собственной функцией оператора Lz |
|
ˆ2 |
|
ной функцией оператора L |
|
Г. информации для ответа на вопрос недостаточно
81
332. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось z имеет определенное значение Lz . Чему равно среднее значение величины Ly в этом состоянии?
А. Ly = Lz Б. Ly = Lz / 2 В. Ly = 0
Г. Ly = −Lz / 2
333. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось x имеет определенное значение Lx . Чему
равно среднее значение величины Ly в этом состоянии?
А. |
Ly |
= Lx |
Б. |
Ly |
= Lx / 2 |
В. |
Ly |
= 0 |
||
Г. |
|
= −Lx / 2 |
|
|
|
|
|
|
||
Ly |
|
|
|
|
|
|
||||
334. Пусть lz |
|
|
|
|
|
ˆ |
||||
– собственное значение оператора Lz . Какие утвер- |
||||||||||
ждения относительно числа lz справедливы?
А. это число будет также собственным значением оператора ˆ2
L
Б. это число будет также собственным значением оператора ˆy
L
В. это число чисто мнимо Г. это число имеет размерность квадрата постоянной Планка
335. Результаты многократных измерений проекции орбитального момента импульса частицы на ось z над ансамблем тождественных квантовых систем приводят с вероятностью ¼ к некоторому значе-
нию lz,1 и с вероятностью ¾ – к некоторому значению lz,2 . Какие из нижеследующих утверждений относительно чисел lz,1 и lz,2 справедливы?
А. они будут собственными значениями оператора ˆz
L
Б. они будут собственными значениями оператора pˆ x
В. они будут собственными значениями оператора ˆ2
L
Г. они не будут собственными значениями оператора ˆy
L
82
336. Пусть – общая собственная функция операторов ˆ2 и ˆz , f L L
отвечающая ненулевым собственным значениям. Какое из нижеследующих утверждений относительно этой функции справедливо?
А. эта функция является и собственной функцией оператора ˆx2
L
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
Б. эта функция является и собственной функцией оператора Ly |
|
||||||||||
В. |
|
эта |
функция |
является |
и |
собственной |
функцией |
оператора |
|||
ˆ |
2 |
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Lx |
|
+ Ly |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
|
эта |
функция |
является |
и |
собственной |
функцией |
оператора |
|||
ˆ |
2 |
ˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Lx |
|
− Ly |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
337. Пусть f – общая собственная функция операторов |
ˆ |
и |
ˆ |
||||||||
Lx |
Ly . |
||||||||||
Какие утверждения относительно функции f |
справедливы? |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
А. она также собственная для оператора Lz |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
Б. она несобственная для оператора L |
|
|
|
|
|||||||
В. она не зависит от углов ϑ и ϕ |
|
|
|
|
|||||||
Г. такой функции не существует |
|
ˆ |
|
ˆ |
|||||||
338. Пусть f – общая собственная функция операторов |
и |
||||||||||
Lx |
Ly . |
||||||||||
Каким собственным значениям она отвечает? Б. lx = и ly = 0
Г. такой функции не существует 339. Какое из перечисленных равенств правильное?
ˆ2 |
ˆ |
ˆ 3 |
|
|
А. L |
, Lx |
= Ly |
|
|
ˆ2 |
ˆ |
= − |
2 |
ˆ |
В. L |
, Lx |
|
Ly |
|
340. Какое из перечисленных четвертой степени момента)?
ˆ4 |
ˆ |
ˆ 5 |
|
|
А. L |
, Lx |
= Ly |
|
|
ˆ4 |
ˆ |
= − |
2 |
ˆ 3 |
В. L |
, Lx |
|
Ly |
|
ˆ2 |
ˆ |
|
ˆ 2 |
Б. L |
, Lx |
= −i Ly |
|
Г. Lˆ2 |
, Lˆ |
|
= 0 |
|
x |
|
|
равенств правильное ( ˆ4 – оператор
L
ˆ4 |
ˆ |
|
ˆ 4 |
Б. L |
, Lx |
= −i Ly |
|
Г. Lˆ4 |
, Lˆ |
|
= 0 |
|
x |
|
|
83
341. Коммутируют ли операторы квадрата орбитального момента и Гамильтона частицы?
А. да Б. нет
В. это зависит от оператора ˆ2
L
Г. это зависит от потенциальной энергии
342.Частица находится в состоянии с определенным значением проекции орбитального момента на ось z . Будет ли проекция момента на ось x в этом состоянии иметь определенное значение?
А. да Б. нет
В. это зависит от величины проекции на ось z Г. это зависит от оператора Гамильтона
343.Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось z имеет определенное значение. Будет ли это состояние стационарным?
А. да Б. нет
В. это не связанные друг с другом вещи Г. зависит от величины проекции
344.Частица находится в состоянии, в котором квадрат орбитального момента имеет определенное значение. Будет ли это состояние стационарным?
А. да Б. нет
В. это не связанные друг с другом вещи Г. это зависит от величины квадрата момента
345.Какие утверждения относительно свойств оператора, повы-
шающего проекцию орбитального момента А. он эрмитов
Б. он является обратным для оператора ˆ−
L
В. он эрмитово сопряжен оператору ˆ−
L
Г. он коммутирует с оператором ˆ−
L
ˆ+ справедливы?
L
84
346. Пусть – общая собственная функция операторов ˆ2 и ˆz . f L L
При действии на нее оператора ˆ+ получается
L
А. собственная функция этих же операторов, отвечающая на единицу большим собственным значениям Б. собственная функция этих же операторов, отвечающая на еди-
ницу большему собственному значению для оператора ˆ2 и тому
L
же собственному значению для оператора ˆz
L
В. собственная функция этих же операторов, отвечающая тому же
собственному значению для оператора ˆ2 и на единицу большему
L
собственному значению для оператора ˆz
L
Г. собственная функция этих же операторов, отвечающая тому же
собственному значению для оператора ˆ2 и на единицу большему
L
собственному значению для оператора ˆz , или тождественно рав-
L
ная нулю функция
347. Пусть f |
|
ˆ2 |
ˆ |
|
– общая собственная функция операторов L |
и |
Lz . |
||
|
|
ˆ ˆ |
|
|
Будет ли она собственной для оператора L+L− ? |
|
|
||
А. да |
Б. нет |
В. это зависит от функции |
||
Г. это зависит от оператора Гамильтона |
ˆ2 |
|
ˆ |
|
|
|
|
||
348. Операторы квадрата орбитального момента L и четности |
P |
|||
А. коммутируют Б. не коммутируют
В. в некоторых случаях коммутируют, в некоторых – нет Г. это зависит от оператора Гамильтона
(оператор четности следующим образом действует в пространстве
функций трех переменных: ˆψ =ψ − − − ) ).
P (x, y, z) ( x, y, z
349. Операторы проекции орбитального момента на ось ˆi
L и четно-
сти ˆ
P
А. коммутируют Б. не коммутируют
В. в некоторых случаях коммутируют, в некоторых – нет Г. зависит от оператора Гамильтона
85
3.2. Свойства собственных значений и собственных функций операторов момента импульса
350. Какие из нижеследующих чисел исчерпывают все собственные значения оператора квадрата орбитального момента импульса?
А. |
2l2 |
Б. 2l(l +1) |
В. 2l(l + 2) |
Г. 2l(l −1) |
( l |
– целое неотрицательное число) |
|
|
|
351. Собственными значениями оператора квадрата орбитального момента импульса являются числа вида 2l(l +1) , где l
А. полуцелое неотрицательное число (число вида 1/2, 3/2, …) Б. целое неотрицательное число В. целое неположительное число
Г. полуцелое неположительное число 352. В некотором состоянии квадрат орбитального момента им-
пульса частицы принимает определенное значение: L2 =12 2 . Какую из перечисленных величин принято называть величиной момента в этом состоянии?
А. 3 Б. 4 В. 12 Г. − 12 353. Какие из нижеследующих чисел исчерпывают все собственные значения оператора проекции орбитального момента импульса на ось z ?
А. m ( m – любое целое или полуцелое число) Б. m ( m – любое целое положительное число) В. m ( m – любое целое отрицательное число) Г. m ( m – любое целое число)
354. Какие из нижеследующих чисел исчерпывают все собственные значения оператора проекции орбитального момента импульса на ось x ?
А. m ( m – любое целое или полуцелое число) Б. m ( m – любое целое положительное число) В. m ( m – любое целое отрицательное число) Г. m ( m – любое целое число)
355. Частица находится в состоянии с определенной проекцией орбитального момента на ось y : Ly = 4 . Измеряют квадрат момен-
86
та импульса. Какое из перечисленных значений не могло быть при этом получено?
А. 24 2 Б. 30 2 В. 42 2 Г. 20 2
356. Частица находится в состоянии с определенной проекцией орбитального момента импульса на ось y : Ly = 4 . Измеряют квад-
рат орбитального момента. Какое из перечисленных значений могло быть при этом получено?
А. 49 2 Б. 36 2 В. 25 2 Г. 42 2
357. Частица находится в состоянии с определенным значением квадрата орбитального момента импульса: 2 . Измеряют
проекцию орбитального момента на ось |
x . Какое из перечислен- |
||
ных значений не могло быть при этом получено? |
|||
А. 5 |
Б. −4 |
В. 6 |
Г. 3 |
358. Какие из нижеследующих функций являются собственными
ˆ |
|
|
для оператора Lz ? |
|
В. exp (imϕ) |
А. sin mϕ |
Б. exp(mϕ) |
Г. cos mϕ (где m – любое целое число)
359. Какие из нижеследующих функций являются собственными
ˆ |
|
|
для оператора Lz ? |
|
В. cos (mϑ +mϕ) |
А. sin mϑ |
Б. sin mϕ |
Г. никакие
( m – любое целое число)
360. Частица находится в состоянии с одной из нижеследующих волновых функций:
А. sinϕ Б. exp(−iϕ) В. exp(−iϑ)
Г. sinϑ
В каких из этих состояний результат измерения проекции орбитального момента на ось z не имеет определенного значения? 361. Частица находится в состоянии с волновой функцией sin mϑ , где m – некоторое целое число. Измеряют проекцию орбитального момента импульса частицы на ось z . Какие значения можно получить и с какими вероятностями?
А. единственное значение Lz = m
87
Б. Lz = m и Lz = − m с вероятностями ½ В. единственное значение Lz = − m
Г. единственное значение Lz = 0
362. Какая из нижеследующих функций является общей собствен-
|
ˆ |
|
ной функцией операторов pˆ z и Ly ? |
|
|
А. eiϕeiky |
Б. eiϕe−iky |
В. e−iϕe−iky |
Г. такой функции не существует |
|
|
( k – некоторое действительное число)
363. Какая из нижеследующих функций является общей собствен-
ной функцией операторов |
ˆ |
|
( k – некоторое действительное |
|||||||
pˆ z и Lz |
|
|||||||||
число, m – некоторое целое число)? |
|
|
||||||||
А. e−imϕe−ikz |
Б. e−imϕe−ky |
|
В. |
e−mϕe−iky |
||||||
Г. такой функции не существует |
|
|
|
|
||||||
364. |
Какая из |
нижеследующих |
функций является собственной |
|||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
функцией оператора Lz ? |
|
|
|
|
|
|||||
А. |
|
x +iy |
|
Б. |
|
x + 2iy |
|
В. |
x −2iy |
|
|
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Г. в декартовых координатах записать эту функцию нельзя 365. Сферические функции – это
А. общие собственные функции операторов квадрата орбитального момента и его проекции на ось z
Б. общие собственные функции операторов квадрата орбитального момента и его проекции на ось x
В. общие собственные функции операторов квадрата орбитального момента и его проекции на ось y
Г. все перечисленные
366. Частица находится в состоянии с волновой функцией cosϕ .
Измеряют проекцию орбитального момента на ось z . Какие значения могут быть получены и с какими вероятностями?
А. |
|
и 2 |
|
с вероятностями ½ |
Б. |
|
и − |
|
с вероятностями ½ |
В. |
0 |
, и 2 с вероятностями 1/3 |
||
Г. |
− |
, 0 |
, |
с вероятностями 1/3 |
88
367. Существует ли среди сферических функций такая функция (или функции), которая не зависит от полярного и азимутального углов ϑ и ϕ ?
А. да Б. нет
В. существуют функции не зависящие от ϑ , но зависящие ϕ
Г. все сферические функции не зависят от углов, так как они обладают сферической симметрией 368. Частица находится в состоянии с волновой функцией
sinϑcosϕ . Будут ли орбитальный момент и его проекция на ось z
иметь определенные значения в этом состоянии? |
|
||||||
А. проекция – да, момент – нет |
|
|
|
|
|||
Б. проекция – нет, момент – да |
|
|
|
|
|||
В. и проекция, и момент |
|
|
|
|
|
||
Г. ни момент, ни проекция. |
|
|
|
|
|
||
369. |
Частица |
находится |
в |
состоянии |
с |
волновой |
функцией |
Y54 (ϑ,ϕ) . Какие значения квадрата орбитального момента могут |
|||||||
быть получены при измерениях? |
|
|
|
||||
А. любое из чисел 0, 2 2 , |
6 |
2 , 12 2 , |
20 2 , 30 |
2 |
|||
Б. 20 2 |
В. 25 2 |
|
|
Г. 30 2 |
|
||
370. |
Частица |
находится |
в |
состоянии |
с |
волновой |
функцией |
Y54 (ϑ,ϕ) . Измеряют проекцию орбитального момента на ось z . Какие значения могут быть получены при измерениях?
А. m = 5 |
Б. любое целое число из интервала −4 ≤ m ≤ 4 |
В. m = 4 |
Г. любое целое число из интервала −5 ≤ m ≤ 5 |
371. Частица |
находится в состоянии с волновой функцией |
Y54 (ϑ,ϕ) . Измеряют проекцию орбитального момента на ось x . Какие значения могут быть получены при измерениях?
А. lx = 5 |
Б. любое целое число из интервала −4 ≤ lx ≤ 4 |
В. lx = 4 |
Г. любое целое число из интервала −5 ≤ lx ≤ 5 |
372. Частица |
находится в состоянии с волновой функцией |
Y54 (ϑ,ϕ) . Какие значения орбитального момента и его проекции на ось z могут быть получены при измерениях?
89
А. l = 4 , m = 5 Б. l = 5 , m = 4 В. l = 4 , m = −5
Г. никакие из перечисленных 373. Частица находится в состоянии с нормированной волновой
функцией C1Y54 (ϑ,ϕ) +C2Y53 (ϑ,ϕ) , где C1 и C2 – числа. Какие значения орбитального момента можно обнаружить в этом состоянии и с какими вероятностями?
А. l = 5 |
с единичной вероятностью |
|
|
|
|
|
|||
Б. l = 3 |
с вероятностью | C |
2 |
|2 |
и l = 4 |
с вероятностью | C |2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
В. l = 5 |
с вероятностью | C |2 |
+| C |
2 |
|2 |
, l = 3 с вероятностью | C |
2 |
|2 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
и l = 4 с вероятностью | C1 |2
Г. l = 3 и l = 4 с одинаковыми вероятностями
374. Частица находится в состоянии с нормированной волновой
функцией C1Y54 (ϑ,ϕ) +C2Y53 (ϑ,ϕ) , где C1 и C2 – числа. Какие значения проекции орбитального момента на ось z можно обнаружить в этом состоянии и с какими вероятностями?
А. |
m = 5 с единичной вероятностью |
|
|
|
|
|||||
Б. |
m = 3 |
с вероятностью | C |
2 |
|2 и |
m = 4 с вероятностью | C |2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
В. |
|
m = 5 |
с вероятностью |
| C |2 |
+| C |
2 |
|2 |
, |
m = 3 с вероятностью |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
| C |
2 |
|2 и m = 4 с вероятностью | C |2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Г. |
m = 3 |
и m = 4 с одинаковыми вероятностями. |
||||||||
375. Частица находится |
в состоянии |
|
с волновой функцией |
|||||||
cos2 ϑ −3cosϑ +1. Измеряют проекцию орбитального момента на ось z . Какие значения можно при этом получить?
А. определенное значение m = 0 Б. определенное значение m = 2
В. любое значение из m = 0, |
1, 2 |
Г. любое целое значение из интервала −2 ≤ m ≤ 2 |
|
376. Частица находится в |
состоянии с волновой функцией |
cos2 ϑ −3cosϑ +1. Какие значения орбитального момента можно получить при измерениях в этом состоянии?
А. одно из чисел 0, 1, 2 Б. одно из чисел 0, 2
90