Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008

237. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени является четной функцией координаты. Можно ли при измерениях энергии осциллятора в этом состоянии обнаружить

Г. зависит от волновой функции 238. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый

момент времени имеет неопределенную четность. Можно ли при измерениях энергии осциллятора в этом состоянии обнаружить

с вероятностью ¾. Чему равна средняя четность осциллятора в некоторый момент времени t = t0 ?

242. Осциллятор находится в таком состоянии, в котором его сред-

няя четность равна P = 3/ 4 . Какие значения энергии осциллятора можно обнаружить при измерениях в этом состоянии?

243. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид (1−10x2 ) exp(−x2 / 2) ( x = x / / mω

61

– безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?

244. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид (1−10x6 ) exp(−x2 / 2) ( x = x / / mω

– безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?

А. только ω / 2 и 13 ω / 2 Б. только 13 ω / 2

В ω / 2 , 5 ω / 2 и 13 ω / 2 Г. только ω / 2 , 5 ω / 2 , 9 ω / 2 и 13 ω / 2

245. Осциллятор находится в 2007 стационарном состоянии (основное состояние – n = 0 ). Чему равна вероятность обнаружить осциллятор в бесконечно малом интервале dx вблизи точки x = 0 ?

Г. 0

246. При измерениях энергии осциллятора обнаружены нулевое и второе собственные значения с вероятностями w0 =1/ 4 и

w2 = 3/ 4 . Чему равна средняя энергия осциллятора?

А. E = 2 ω Б. E = 3 ω В. E = 4 ω Г. E = 5 ω

247. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет вид Ψ(x,t = 0) = Ax exp(−x4 / 2) , где x = x / / mω – безраз-

мерная координата осциллятора, A – постоянная. Какие значения энергии осциллятора можно обнаружить при измерениях?

А. только 3 ω / 2 Б. все нечетные собственные значения

В. все четные собственные значения Г. все собственные значения

62

248. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет ли четность осциллятора иметь определенное значение в этом состоянии?

249. Осциллятор находится в таком состоянии, в котором его энергия может принимать второе и восьмое собственные значения (основное состояние – нулевое). Будет ли четность осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?

А. да, P = +1 Б. да, P = −1 В. нет Г. зависит от состояния

250. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет ли координата осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?

251. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Будет ли импульс осциллятора иметь в этом состоянии определенное значение?

−∞

ции осциллятора, xˆ – оператор координаты? А. если индексы n и m совпадают

Б. если индексы n и m – числа одной четности В. если индексы n и m отличаются на 2

Г. если индексы n и m отличаются на 1

253. Для каких значений индексов n и m отличен от нуля интеграл +∞∫ fn (x) xˆ2 fm (x)dx , где fn (x) и fm (x) – собственные функ-

−∞

ции осциллятора, xˆ – оператор координаты? А. только если индексы n и m совпадают

Б. если индексы n и m – числа одной четности

63

В. если индексы n и m совпадают или отличаются на 2 Г. только если индексы n и m отличаются на 2

254. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя)

Б. только если индексы n и m отличаются на 2

В. если индексы n и m совпадают или отличаются на 2 Г. если индексы n и m – числа одной четности

257. Какой формулой (с точностью до безразмерного множителя)

64

В. 1/ mω Г. ω / m

258. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 равна

где x = x / / mω – безразмерная координата осциллятора, H0 (x) и H3 (x) – нулевой и третий полиномы Эрмита. В каком из

этих состояний средняя координата осциллятора зависит от времени?

259. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 равна

где x = x / / mω – безразмерная координата осциллятора, H0 (x) и H3 (x) – нулевой и третий полиномы Эрмита. В каком из

этих состояний средний импульс осциллятора зависит от времени? 260. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет

261. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет

зависеть от времени средний импульс осциллятора в этом состоянии?

262. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет вид Ψ(x,t = 0) = A(1+ x) exp(−x2 / 2) , где x = / mω – безраз-

мерная координата осциллятора, A – постоянная. Как будет зави-

65

сеть от времени средняя координата осциллятора в этом состоянии?

263. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет вид Ψ(x,t = 0) = A(1+ x) exp(−x2 / 2) , где x = x / / mω – без-

размерная координата осциллятора, A – постоянная. С какой частотой будет осциллировать средняя координата осциллятора в этом состоянии как функция времени?

А. с частотой осциллятора Б. с удвоенной частотой осциллятора

В. с половинной частотой осциллятора Г. средняя координата осциллятора в рассматриваемом состоянии не зависит от времени

264. Волновая функция осциллятора в момент времени t = 0 имеет

зависеть от времени средняя энергия осциллятора в этом состоя-

265. Энергия осциллятора может принимать нулевое и второе собственные значения. Как средний импульс осциллятора зависит от времени в рассматриваемом состоянии?

266. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия имеет определенное значение. Как средняя координата осциллятора зависит от времени в этом состоянии?

267. Какие из перечисленных величин будут интегралами движения для гармонического осциллятора?

66

268. Какой формулой может описываться волновая функция ос-

269. Какой формулой может описываться волновая функция осциллятора с частотой ω ( x = x / / mω – безразмерная координата осциллятора, A и B – постоянные)?

А. Ψ(x,t) = (Ae−3iωt / 2 + Bxe−iωt / 2 )e−x2 / 2

Б. Ψ(x,t) = (Ae−iωt / 2 + Bxe−3iωt / 2 )e−x2 / 2

В. Ψ(x,t) = (Ae3iωt / 2 + Bxeiωt / 2 )e−x2 / 2

Г. Ψ(x,t) = (Aeiωt / 2 + Bxe3iωt / 2 )e−x2 / 2

270. Какая из перечисленных функций является волновой функцией Ψ(x,t) стационарного состояния осциллятора ( x = x / / mω

– безразмерная координата осциллятора, A – постоянная)?

А. Ψ(x,t) = Ae−x2 / 2

Б. Ψ(x,t) = Axe−x2 / 2e3iωt / 2

В. Ψ(x,t) = A(e−x2 / 2e−iωt / 2 + xe−x2 / 2e−3iωt / 2 )

Г. Ψ(x,t) = Axe−x2 / 2e−3iωt / 2

271.Осциллятор находится в стационарном состоянии. При измерении энергии осциллятора могут быть получены А. единственное значение с единичной вероятностью Б. два значения с одинаковыми вероятностями В. три значения с одинаковыми вероятностями Г. это несвязанные вещи

272.Осциллятор находится в n -м стационарном состоянии. Как средний импульс осциллятора зависит от n ?

67

Г. при малых n растет, при больших – убывает.

2.4. Непрерывный спектр. Прохождение через барьеры

274. Состояние частиц описывается ненормируемой волновой функцией ψ(x) . Что можно определить с помощью этой функции? А. вероятность обнаружить частицу в некотором малом интервале

координаты (как ψ(x) 2 dx )

Б. отношение вероятностей обнаружить частицу в тех или иных точках пространства (как ψ(x1 ) 2 / ψ(x2 ) 2 )

В. линии уровня (из решения уравнения ψ(x) = 0 )

Г. никакие наблюдаемые величины с помощью такой функции определить нельзя

275. Волновая функция свободной частицы имеет вид eikx −e−ikx , где k – некоторое число. Сравнить вероятность обнаружить частицу в этом состоянии в малом интервале координат около точки с координатой x =π / 4k ( w(x =π / 4k) ) и вероятность обнаружить частицу в этом состоянии в том же интервале координат около точки с координатой x =π / 3k ( w(x =π / 3k) ).

А. w(x =π / 4k) > w(x =π / 3k) Б. w(x =π / 4k) < w(x =π / 3k) В. w(x =π / 4k) = w(x =π / 3k)

Г. информации для ответа недостаточно

276. Волновая функция свободной частицы имеет вид eikx , где k – некоторое число. Сравнить вероятность обнаружить частицу в этом состоянии в малом интервале координат около точки с координатой x =π / 4k ( w(x =π / 4k) ) и вероятность обнаружить частицу в

68

этом состоянии в том же интервале координат около точки с координатой x =π / 3k ( w(x =π / 3k) ).

А. w(x =π / 4k) > w(x =π / 3k) Б. w(x =π / 4k) < w(x =π / 3k) В. w(x =π / 4k) = w(x =π / 3k)

Г. информации для ответа недостаточно

277. Волновая функция свободной частицы имеет вид eikx +e−ikx , где k – некоторое число. Сравнить вероятность обнаружить частицу в этом состоянии в малом интервале координат около точки с координатой x =π / 6k ( w(x =π / 6k) ) и вероятность обнаружить частицу в этом состоянии во вдвое большем интервале координат около точки с координатой x =π / 3k ( w(x =π / 3k) )

А. w(x =π / 4k) > w(x =π / 3k) Б. w(x =π / 4k) < w(x =π / 3k) В. w(x =π / 4k) = w(x =π / 3k)

Г. информации для ответа недостаточно

278.Функция eikx , где k – некоторое положительное число, описывает поток частиц, распространяющихся

А. в положительном направлении оси x Б. в отрицательном направлении оси x

В. в среднем покоящихся частиц, так как вероятность обнаружить их в разных точках пространства в таком состоянии одинакова Г. информации для ответа недостаточно

279.Потенциальная энергия части-

69

ординат и отлична от нуля в конечной области. Будут ли волновые функции стационарных состояний непрерывного спектра обладать определенной четностью?

А. да Б. нет В. вообще говоря, нет, но могут быть выбраны так, чтобы обладали Г. это зависит от потенциала

283. В каком из нижеперечисленных состояний свободной частицы (U (x) = 0 ) и энергия и импульс частицы имеют определенные значения?

(U (x) = 0 ) энергия частицы имеет определенное значение, а импульс нет?

70