Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
.pdfГ. Cr exp(−r / 2a)
( C – нормировочная постоянная, a – боровский радиус).
485. Электрон находится в основном состоянии атома водорода, то есть его состояние описывается волновой функцией C exp(−r / a)
( C – нормировочная постоянная, |
a – боровский радиус). Каково |
|
наиболее вероятное расстояние от электрона до ядра? |
||
А. rн.в. = 0 |
Б. rн.в. = a / 2 |
В. rн.в. = a |
Г. rн.в. = 2a |
|
|
486. Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии. Будет ли момент импульса электрона иметь определенное значение?
А. да Б. нет В. это зависит от состояния Г. это зависит от гамильтониана электрона
487. Для электрона в атоме водорода сравнить Enr =4l=3 и Enr =5l=2 .
А. En =4l=3 |
> En =5l =2 |
Б. En =4l=3 |
< En =5l=2 |
r |
r |
r |
r |
В. En =4l=3 |
= En =5l =2 |
Г. это зависит от m |
|
r |
r |
|
|
488. Для электрона в атоме водорода сравнить Enr =0l =3 и Enr =1l=4 .
А. En =0l=3 |
> En =1l=4 |
Б. En =0l=3 |
< En =1l=4 |
r |
r |
r |
r |
В. En =0l=3 |
= En =1l=4 |
Г. зависит от m |
|
r |
r |
|
|
489.Какие ортогональные многочлены определяют радиальные волновые функции стационарных состояний электрона в атоме водорода?
А. полиномы Лежандра Б. полиномы Лагерра
В. присоединенные полиномы Лежандра Г. полиномы Эрмита
490.Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоя-
нии с квантовыми числами nr , l и m ( nr – радиальное квантовое
число, |
l – момент и m – проекция момента). От каких квантовых |
|
чисел |
зависит радиальная волновая функция R(r) |
электрона |
( Ψ(r,ϑ,ϕ) = R(r)Ylm (ϑ,ϕ) )? |
|
|
А. функция R(r) зависит от всех квантовых чисел nr , l |
и m |
|
111
Б. функция R(r) |
зависит от nr , но не зависит от l и m |
В. функция R(r) |
зависит от nr и l , но не зависит от m |
Г. функция R(r) |
зависит от l и m , но не зависит от nr |
491. Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии. Будет ли четность этого состояния иметь определенное значе-
ние? |
|
|
А. да |
Б. нет |
В. это зависит от состояния |
Г. да, если электрон на первом возбужденном уровне энергии
492. В каких пределах может меняться момент l стационарного состояния электрона в атоме водорода при фиксированном ради-
альном квантовом числе nr этого состояния?
А. любое целое число из интервала значений 0 ≤ l ≤ nr −1 Б. любое целое число из интервала значений 0 ≤ l ≤ nr В. любое целое число из интервала значений 0 ≤ l ≤ nr +1
Г. любое целое неотрицательное число 493. Какой формулой определяется энергия стационарного состоя-
ния с квантовыми числами nr , l и m электрона в атоме водорода ( nr – радиальное квантовое число, l – момент и m – проекция мо-
мента; нумерация nr |
начинается с единицы)? |
||||||
А. − |
e2 |
Б. − |
e2 |
||||
2a(n +l)2 |
|
|
2a(n +l +1)2 |
|
|||
|
|
r |
|
r |
|||
В. − |
|
e2 |
Г. − |
e2 |
|||
|
2a(n +l + m)2 |
|
2a(n +l + m +1)2 |
||||
|
|
r |
|
r |
|||
494. Электрон в атоме водорода находится в состоянии с квантовыми числами nr = 4,l = 6, m = 2 (нумерация nr начинается с нуля). Сколько узлов имеет радиальная волновая функция (без учета
узла при r = 0 ) |
|
|
|
А. 4 |
Б. 6 |
В. 2 |
Г. 12 |
495. Радиальная волновая функция электрона, находящегося в стационарном состоянии в атоме водорода имеет пять узлов. Чему равен момент импульса электрона?
А. l = 4 Б. l = 5 В. l = 6
112
Г. это несвязанные вещи 496. Какова кратность вырождения третьего возбужденного уровня
энергии электрона в атоме водорода? |
|
||
А. 9 |
Б. 16 |
В. 25 |
Г. 36 |
497. Какова кратность вырождения уровня энергии − |
me4 |
элек- |
|||||
32 |
2 |
||||||
трона в атоме водорода? |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
А. 4 |
Б. 9 |
В. 16 |
Г. 25 |
|
|
|
|
498. Электрон находится на первом возбужденном уровне энергии атома водорода. Измеряют момент импульса электрона. С какой вероятностью будет получено значение l =1?
А. w =1/ 4 |
Б. w = 3/ 4 |
В. w = 0 |
Г. это зависит от состояния |
|
|
499. Электрон находится на первом возбужденном уровне энергии атома водорода. Какой функцией не может описываться зависимость его волновой функции от углов?
А. sinϑcosϕ Б. cosϑ +sinϑe−iϕ В. cosϑ cosϕ Г. sinϑ(cosϕ −2sinϕ)
500. Электрон находится на втором возбужденном уровне энергии атома водорода. Перечислите все значения момента импульса, которые можно обнаружить при измерениях
А. l = 0 , l =1 и l = 2 |
Б. l = 0 , l = 2 и l = 4 |
В. l =1 и l = 3 |
Г. l = 0 и l = 2 |
501. Электрон находится на третьем возбужденном уровне энергии атома водорода. Перечислите все значения проекции момента импульса на ось z , которые можно обнаружить при измерениях.
А. lz = − , |
0, |
|
|
Б. только значение lz |
= |
3 |
|
В. lz = −2 , |
, 0, |
|
, 2 |
Г. lz = −3 , −2 , |
, |
0, , 2 , 3 |
|
502. Какие значения момента импульса отвечают 10-му возбужденному уровню энергии электрона в атоме водорода?
А. все четные от l = 0 до l =10 Б. все нечетные от l =1 до l =11
113
В. все возможные от l = 0 до l =10 Г. все возможные от l = 0 до l =11
503. Электрон в атоме водорода с вероятностью 1/4 находится в состоянии с квантовыми числами nr = 3 , l = 0 , а с вероятностью 3/4 – в состоянии с квантовыми числами nr = 2 , l =1. Будет ли
состояние электрона стационарным? А. да Б. нет
В. зависит от значений магнитного квантового числа Г. в некоторых случаях будет, в некоторых нет.
504. Электрон в атоме водорода с вероятностью 1/4 находится в состоянии с квантовыми числами nr = 3 , l = 0 , а с вероятностью 3/4 – в состоянии с квантовыми числами nr =1, l =1. Будет ли со-
стояние электрона стационарным? А. да Б. нет
В. зависит от значений магнитного квантового числа Г. в некоторых случаях будет, в некоторых нет.
505. Волновая функция электрона в атоме водорода в момент времени t = 0 равна C exp(−r / a) ( C – нормировочная постоянная,
a – боровский радиус). Какой формулой описывается волновая функция электрона в любой момент времени?
|
− |
ime4t |
||
А. C exp(−r / a)e |
|
3 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− |
ime4t |
|||
|
|
3 |
||
Б. C exp(−r / a)e |
|
|
2 |
|
|
ime4t |
|||
В. C exp(−r / a)e |
|
|
3 |
|
Г. аналитически найти решение временного уравнения Шредингера для такого начального условия не удается
506. Какой формулой определяются энергии s -состояний частицы массой μ в сферической бесконечно глубокой прямоугольной по-
тенциальной яме радиуса a ( n =1, 2,3...)?
114
А. |
π2 |
2n2 |
Б. |
π2 |
2n2 |
|
2μ(2a)2 |
2μa2 |
|||||
|
|
|||||
В. |
π2 |
2n |
Г. |
π 2 |
2n |
|
2μa2 |
2μ(2a)2 |
|||||
|
|
|||||
507. Какой формулой определяются волновые функции стационарных состояний с l = 0 для частицы, находящейся в сферической бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ( k – некоторое число)?
А. ψ (r) sin kr / r внутри ямы и ψ(r) = 0 снаружи Б. ψ(r) cos kr / r внутри ямы и ψ(r) = 0 снаружи В. ψ (r) exp(−kr) / r внутри ямы и ψ(r) = 0 снаружи Г. ψ (r) exp(ikr) / r внутри ямы и ψ(r) = 0 снаружи
508. Чему равна энергия второго стационарного p -состояния частицы массой μ в сферической бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме радиуса a ?
А. |
12π2 2 |
Б. |
9π2 2 |
В. |
16π2 2 |
|
2μa2 |
2μa2 |
2μa2 |
||||
|
|
|
Г. аналитическое выражение для энергий p -состояния частицы в
сферической яме получить не удается 509. Частица в сферической бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной яме находится в состоянии с квантовыми числами nr = 2 , l = 3 , m = −2 . Какова кратность вырождения этого уровня
энергии?
А. 5 Б. 7 В. 9 Г. 11
510. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой сферической прямоугольной потенциальной яме представляет собой линейную комбинацию собственных функций с квантовыми числами
nr = 3 , l = 0 , m = 0 и nr = 2 , l =1, m = 0 . Будет ли это состояние стационарным?
А. да Б. нет В. зависит от размера ямы Г. в некоторых случаях будет, в некоторых – нет
115
ГЛАВА 5. СПИН
511. Спин электрона равен1
А. s = −1/ 2
Б. |
s =1/ 2 |
|
|
В. |
s =1/ 2 и s = −1/ 2 с равными вероятностями |
||
Г. |
s =1/ 2 и s = −1/ 2 , вероятности зависят от состояния |
||
512. Проекция спина электрона на ось z равна |
|||
А. |
sz |
=1/ 2 |
|
Б. |
sz |
= −1/ 2 |
|
В. |
sz |
=1/ 2 и sz |
= −1/ 2 с равными вероятностями |
Г. |
sz |
=1/ 2 и sz |
= −1/ 2 , вероятности зависят от состояния |
513. Спин частицы равен 3/4. Какие значения может принимать проекция ее спина на ось z ?
А. +3/4 и –3/4 |
|
Б. +3/4, 3/2, -3/2 и –3/4 |
В. 3/2 и –3/2 |
|
Г. спин таким быть не может |
514. Спин частицы равен |
s = 5 / 2 . Какова вероятность того, что |
|
проекция спина на ось z принимает значение sz = +5 / 2 ? |
||
А. 1 |
Б. 0 |
В. ½ |
Г. это зависит от состояния |
|
|
515. Спин частицы равен s = 99 / 2 . Какова размерность линейного пространства спиновых функций частицы?
А. 97 Б. 98 В. 99 Г. 100
516. Частица имеет спин s . В каких пределах меняется координата sz в списке аргументов этой функции ψ(r, sz ) ?
А. может быть любым числом от 0 до 1 Б. может быть любым числом от −s до s
В. может быть любым числом от −s до s через единицу Г. может быть любым целым числом от −s до s
517. В результате многократных измерений, выполненных над ансамблем тождественных квантовых систем, были обнаружены следующие вероятности различных проекций спина частицы на ось
1 Во всех задачах этой главы =1 .
116
y : w(sy = −1) =1/ 4 , |
w(sy = 0) =1/ 4 , |
w(sy =1) =1/ 2 . Чему ра- |
вен спин частицы? |
|
|
А. 1 |
Б. 2 |
В. 3 |
Г. информации для ответа недостаточно |
|
|
518. Волновая функция частицы со спином s =1/ 2 ψ(r, sz ) из- |
||
вестна. Вероятность того, что частица находится в малом элементе объема dV вблизи точки с радиусом-вектором r0 равна
А. (|ψ(r0 , sz = −1/ 2) |2 +|ψ(r0 , sz =1/ 2) |2 )dV
|
+s |
|ψ(r , s |
|
) |2 ds |
|
||
Б. |
∫ |
z |
dV |
||||
|
|
0 |
|
|
z |
||
|
−s |
|
|
|
|
|
|
В. (|ψ(r0 , sz = −1) |2 + |ψ(r0 , sz = 0) |2 +|ψ(r0 , sz =1) |2 )dV |
|||||||
Г. |ψ(r , s |
z |
=1/ 2) |2 |
dV |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
519. Волновая функция частицы со спином s =1/ 2 ψ(r, sz ) из-
вестна. Каким из нижеперечисленных выражений определяется условие нормировки этой функции?
А. (|ψ(r, sz = −1/ 2) |2 +|ψ(r, sz =1/ 2) |2 )=1
Б. ∫(|ψ(r , sz = −1/ 2) |2 + |ψ(r, sz = +1/ 2) |2 )dV =1 (интегриро-
вание проводится по всем значениям координат)
|
|
+∞ |
|
z |
|
|
|
В. |
∫ |
∫ |
|ψ(r, s |
) |2 |
ds |
z |
|
|
|
|
dV =1 (внутренний интеграл – по спино- |
||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
вой переменной, внешний – по всем значениям координат)
Г. dw(r ) = |
+s |
|ψ(r, s |
|
) |2 |
ds |
|
по |
|
|
∫ |
z |
dV (внутренний интеграл – |
|||||
0 |
∫ |
|
|
|
z |
|
||
|
|
−s |
|
|
|
|
|
|
спиновой переменной, внешний – по всем значениям координат) |
|
|||||||
520. Волновая функция частицы со спином s =1/ 2 ψ(r, sz ) |
из- |
|||||||
вестна. Какой смысл имеет величина ∫|ψ(r, sz =1/ 2) |2 dr (интег-
117
рирование проводится по всем значениям пространственных координат)?
А. это вероятность того, что частица находится в малом элементе объема dr вблизи точки с радиусом-вектором r независимо от проекции спина Б. это вероятность того, что частица имеет проекцию спина
sz =1/ 2 независимо от ее положения в пространстве
В. это вероятность того, что частица имеет проекцию спина sz = −1/ 2 независимо от ее положения в пространстве
Г. это вероятность того, что частица находится в малом элементе объема dr вблизи точки с радиусом-вектором r с проекцией спина на ось z , равной sz =1/ 2
521. Спиновая волновая функция частицы равна
|
|
|
|
−1/ 2 |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ψ(s |
|
) = |
|
|
. |
||
z |
|
3 / 2 |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чему равен спин такой частицы?
А. 1 Б. 3/2 В. 2 Г. 5/2
522. В каком из состояний, спиновые волновые функции которых приведены ниже, частица имеет определенный спин?
|
|
1 |
|
−1 |
1 |
|
|
А. только в состоянии |
|
|
|
Б. только в состоянии |
|
||
2 |
|||||||
|
|
|
i |
0 |
|
||
В. только в состоянии |
|
1 |
|
1 |
Г. во всех перечисленных |
||
|
|
|
|||||
|
2 |
||||||
|
|
|
−1 |
|
|
||
523. Какие из нижеперечисленных функций являются собственными функциями оператора sˆ2 ?
|
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
А. только |
|
и |
|
Б. только |
и |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
−1 |
|
1 |
1 |
|
Г. все двухкомпонентные столбцы |
|||
В. только |
|
и |
|
|||
i |
−i |
|
|
|
||
118
524. В каком из перечисленных состояний частица имеет определенную проекцию спина на ось z ?
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
А. ψ(sz ) = |
Б. ψ(sz ) = |
|
||||
2 |
||||||
|
0 |
|
|
1 |
||
В. ψ(sz ) = |
1 |
i |
Г. во всех |
|
|
||||
2 |
||||
|
i |
|
525. Какая из перечисленных функций является собственной функ-
цией оператора sˆz ? |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
А. ψ(sz ) = |
Б. ψ(sz ) = |
|
||
2 |
||||
0 |
|
1 |
В. ψ(sz ) = |
1 |
i |
Г. никакая из перечисленных |
|
|
||||
2 |
||||
|
i |
|
|
3 |
/ 2 |
|
526. Частица находится в состоянии ψ(sz ) = |
1/ |
2 |
. Что можно |
|
|
сказать о проекции спина на ось z в этом состоянии?
А. может принимать два значения sz = 3 / 2 и sz =1/ 2 с одинаковыми вероятностями
Б. может принимать два значения sz =1/ 2 и sz = −1/ 2 с вероят-
ностями 3 / 4 и 1/ 4 В. проекция спина частицы, волновая функция которой – двухком-
понентный столбец, равна 1/ 2 независимо от того, какие числа в этом столбце
Г. может принимать два значения sz =1/ 2 и sz = −1/ 2 с одинаковыми вероятностями
527. В каком из четырех состояний, спиновые волновые функции которых приведены ниже, частица имеет определенную проекцию спина на ось z ?
119
|
|
|
|
−1/ 2 |
|
|
|
|
|
−i / 3 |
|
|
|
|
||||
А. ψ (sz )= 0 |
Б. ψ (sz )= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
i / 3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1/ |
3 |
|
|
|
|
||
В. ψ (s |
|
)= i |
|
|
|
Г. ψ (s |
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
z |
1/ 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
528. Чему равно среднее значение проекции спина на ось |
в со- |
|||||||||||||||||
стоянии ψ |
(sz ) = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. sz = −1/ 2 |
|
|
|
Б. sz =1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В. sz =1/ 4 |
|
|
|
Г. sz = 0 |
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||
529. Чему равно среднее значение проекции спина на ось |
в со- |
|||||||||||||||||
стоянии ψ |
(sz ) = |
|
−i / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. sz = −1/ 4 |
|
|
|
Б. sz =1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В. sz =1/ 2 |
|
|
|
Г. sz = −1/ 8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
530. Какая из четырех функций ортогональна функции |
|
|
? |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 / 2 |
||
−1/ 2 |
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
i 3 / 2 |
|
|
|
||||
А. |
|
|
|
|
|
|
Б. |
−1/ 2 |
|
|
|
|
|
В. |
−1/ 2 |
|
|
|
i 3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
531. Чему равно скалярное произведение двух спиновых функций
ψ1 |
|
1 |
и ψ2 |
|
i |
|
|
(sz ) = |
|
|
(sz ) = |
|
? |
||
|
i |
|
|
|
−2i |
|
|
120