Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008

877. Система шести тождественных невзаимодействующих фермионов находится в состоянии, в котором числа заполнения состояний одночастичного гамильтониана имеют следующие значе-

ния: ni = 3 , nk = 2 , nm =1 . Будет ли это состояние собственным

для оператора Гамильтона системы и если да, то какому собственному значению оно отвечает?

А. да, собственному значению 3εi + 2εk +εm Б. нет

В. да, собственному значению 6εi + 4εk + 2εm Г. только, если состояния i, k, m вырождены ( εi , εk , εm – энергии одночастичных состояний)

878. Сравните энергию основных состояний системы невзаимодействующих тождественных бозонов Eb и системы невзаимодейст-

вующих тождественных фермионов Ef , если у этих систем одина-

ковые одночастичные гамильтонианы, а число частиц в системах одинаковое и большое.

Г. сравнить эти энергии невозможно 879. Система тождественных частиц находится в состоянии, в ко-

тором числа заполнения одночастичных состояний имеют определенные значения ni . Какой смысл имеет сумма всех чисел запол-

нения ∑ni ?

i

А. эта сумма рана единице (условие нормировки волновой функции)

Б. эта сумма равна числу частиц в системе В. эта сумма равна энергии системы Г. эта сумма равна полной массе системы

880. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ (r1, r2 ) ϕi (r1)ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана, i, k, n – одночастичные квантовые числа. Будут ли

211

в этом состоянии числа заполнения одночастичных состояний i, k, n иметь определенные значения?

А. состояния k – да, состояний i, n – нет Б. состояния i – да, состояний k, n – нет В. состояния n – да, состояний k, i – нет

Г. да для всех состояний 881. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ (r1, r2 ) ϕi (r1)ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана, i, k, n – одночастичные квантовые числа. Найдите

среднее значения числа заполнения одночастичного состояния k в этом состоянии

Г. nk =1

882. Система тождественных невзаимодействующих бозонов имеет волновую функцию:

ψ (r1, r2 ) ϕi (r1)ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана системы, i, k, n – одночастичные квантовые числа.

Будет ли это состояние собственным состоянием гамильтониана системы?

А. да Б. нет

В. да, если состояния i и n вырождены Г. да, если состояния k и n вырождены

883. Система тождественных невзаимодействующих бозонов имеет волновую функцию:

ψ (r1, r2 ) ϕi (r1)ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (x) , ϕk (x) и ϕn (x) – собственные функции одночастичного гамильтониана, i, k, n – одночастичные квантовые числа. Чему равна средняя энергия системы в этом состоянии?

212

884. Пусть разложение волновой функции системы тождественных частиц Ψ(r1, r2 ,...) по состояниям, в которых числа заполнения

ты разложения. Какая величина в этом равенстве представляет собой волновую функцию рассматриваемого состояния в представлении чисел заполнения?

Г. ни одна из этих величин 885. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

себя как пространственные, так и спиновые переменные, C1 и C2 –

числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значений чисел заполнения одночастичного состояния i является правильным?

886. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

213

себя как пространственные, так и спиновые переменные, C1 и C2 –

числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значений чисел заполнения одночастичного состояния i является правильным?

887. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

себя как пространственные, так и спиновые переменные, C1 и C2 –

числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значений чисел заполнения одночастичного состояния i является правильным?

888. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

214

числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значений чисел заполнения одночастичного

889. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

числа. Какое из нижеперечисленных равенств относительно вероятностей различных значений чисел заполнения одночастичного состояния k является правильным?

890. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

числа. Среднее значение числа заполнения одночастичного состояния n равно

891. Как действует оператор рождения частицы в i -м одночастичном состоянии на волновые функции состояний с определенными

значениями чисел заполнения Ψn1 ,n2 ,...ni ,... в случае бозонов?

215

892. Как действует оператор уничтожения частицы в i -м одночастичном состоянии на волновые функции состояний с определен-

ными значениями чисел заполнения Ψn1 ,n2 ,...ni ,... в случае бозонов?

893. Какое из приведенных ниже перестановочных соотношений операторов рождения и уничтожения для фермионов является правильным?

894. Каковы перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения для бозонов?

895. Какое из нижеперечисленных операторных равенств, содержащее фермионные операторы рождения и уничтожения, является верным?

896. Какой формулой определяется оператор числа частиц в представлении чисел заполнения (индекс i нумерует одночастичные состояния)?

216

898. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ ϕi (r1 )ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана, i, k, n – одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функция собственной функцией оператора числа заполнения

899. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ ϕi (r1 )ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана, где i, k, n – одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функция собственной функцией оператора числа запол-

Г. нет 900. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ ϕi (r1 )ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где ϕi (r ) , ϕk (r) и ϕn (r ) – собственные функции одночастичного гамильтониана, где i, k, n – одночастичные квантовые числа. Бу-

217

дет ли эта функция собственной функцией оператора числа частиц, и если да, то какому собственному значению она будет отвечать?

901. Система шести тождественных невзаимодействующих бозонов находится в состоянии, в котором числа заполнения состояний од-

ночастичного гамильтониана имеют следующие значения: n1 = 3 , n2 = 2 , n3 =1 (квантовые числа одночастичных состояний 1, 2, 3 включают в себя и спиновые квантовые числа). Будет ли это состояние собственным для оператора aˆ1+aˆ1 и если да, то какому соб-

ственному значению оно будет отвечать? А. да, собственному значению 3 Б. нет В. да, собственному значению 2

Г. такого состояния быть не может 902. Система шести тождественных невзаимодействующих фер-

мионов находится в состоянии, в котором числа заполнения состояний одночастичного гамильтониана имеют следующие значе-

ния: n1 = 3 , n2 = 2 , n3 =1 (квантовые числа одночастичных состояний 1, 2, 3 включают в себя и спиновые квантовые числа). Бу-

дет ли это состояние собственным для оператора aˆ1+aˆ1 и если да, то

какому собственному значению оно будет отвечать? А. да, собственному значению 3 Б. нет В. да, собственному значению 2

Г. такого состояния быть не может 903. Система шести тождественных невзаимодействующих фер-

мионов находится в состоянии, в котором фермионы заполняют шесть состояний одночастичного гамильтониана с квантовыми

числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Будет ли это состояние собственным для

оператора aˆ6+aˆ6 и если да, то какому собственному значению оно

будет отвечать?

А. да, собственному значению 6 Б. да, собственному значению 0

218

В. да, собственному значению 1 Г. такого состояния быть не может

904. Система шести тождественных невзаимодействующих фермионов находится в состоянии, в котором фермионы заполняют шесть состояний одночастичного гамильтониана с квантовыми числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Будет ли это состояние собственным для

оператора aˆ7+aˆ7 и если да, то какому собственному значению оно

будет отвечать?

А. да, собственному значению 7 Б. да, собственному значению 0 В. да, собственному значению 1 Г. такого состояния быть не может

905. Классическое выражение физической величины A для системы тождественных частиц представляет собой сумму слагаемых,

каждое из которых относится к одной частице A = ∑A(ra ) , где

a

индекс a нумерует частицы. Каким будет квантовомеханический оператор физической величины A в представлении чисел заполнения?

волновыми функциями.

906. Какой из нижеследующих формул определяется оператор Гамильтона системы тождественных невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения?

907. Какой из нижеследующих формул определяется оператор Гамильтона системы тождественных невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения?

219

908. Оператор физической величины A , относящейся к системе тождественных невзаимодействующих частиц, представляет собой

сумму слагаемых ˆ , каждое из которых действует на координа-

A(i)

ты одной частицы. Пусть матричные элементы оператора ˆ с

A(i)

собственными функциями одночастичного гамильтониана Amk известны. Найдите среднее значение величины A в состоянии с определенными значениями чисел заполнения nk

909. Система тождественных невзаимодействующих частиц находится в состоянии с определенными значениями чисел заполнения

nk . На систему действует зависящее от времени внешнее поле. В

какие состояния возможен переход системы? (Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений).

А. только в состояния с теми же самыми числами заполнения Б. только в состояния с числами заполнения, одно из которых увеличилось на единицу, а второе на единицу уменьшилось

В. только в состояния с числами заполнения, одно из которых увеличилось на два, а второе на два уменьшилось Г. только в состояния с числами заполнения, два из которых увели-

чились на единицу, а два на единицу уменьшились 910. Система тождественных невзаимодействующих частиц нахо-

дится в состоянии с определенными значениями чисел заполнения nk . На систему накладывают малое возмущение, оператор которо-

го имеет вид: ˆ = ∑ ˆ (ra ) , где индекс a нумерует частицы. Какой

V

V

a

формулой определяется поправка первого порядка к энергии рассматриваемого состояния?

220