Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008

где ϕ1 и ϕ2 – некоторые функции пространственной координаты, описывать пространственное состояние системы из двух тождественных бозонов со спином s = 0 каждый?

А. да, поскольку эта функция антисимметрична относительно перестановок Б. нет, поскольку эта функция антисимметрична относительно пе-

рестановок, а спиновой части эта функция не содержит В. да, если спиновая часть волновой функции антисимметрична

Г. это зависит от ϕ1 , ϕ2 842. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ ϕi (r1 )ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) +ϕi (r1 )ϕn (r2 ) +ϕn (r1 )ϕi (r2 ) ,

где i, k, n – квантовые числа одночастичных состояний. Сколько

частиц входят в систему? А. одна Б. две В. три

Г. эта система с неопределенным числом частиц

843. Два тождественных бозона со спином s = 0 каждый связаны потенциалом, зависящим только от модуля относительного радиу-

са-вектора: U (r1, r2 ) =U (| r1 −r2 |) . Какие значения может принимать орбитальный момент относительного движения?

А. только l = 0 Б. только l =1

В. только четные значения Г. только нечетные значения

844. Система из трех тождественных бозонов со спином s = 0 каждый находится в состоянии, в котором две частицы находятся в одночастичном состоянии i , одна – в одночастичном состоянии k .

Какой формулой определяется волновая функция системы ( ϕi (r ) и ϕk (r) – одночастичные волновые функции)?

А. Ψ(r1, r2 , r3 ) =ϕi (r1 )ϕi (r2 )ϕk (r3 )

Б. Ψ(r1, r2 , r3 ) = 12 (ϕi (r1 )ϕi (r2 )ϕk (r3 ) +ϕi (r1)ϕi (r3 )ϕk (r2 ))

202

В. Ψ(r1, r2 , r3 ) = 13 (ϕi (r1 )ϕi (r2 )ϕk (r3 ) +

+ϕi (r1 )ϕi (r3 )ϕk (r2 ) +ϕi (r3 )ϕi (r2 )ϕk (r1 ))

Г. такого состояния в системе бозонов быть не может 845. Три тождественных невзаимодействующих фермиона со спи-

ном s =1/ 2 каждый движутся в некотором потенциале. Собственные функции одночастичного гамильтониана ϕi (x) известны

( x = r,σz индекс i включает в себя и «спиновые» квантовые чис-

ла). Какой формулой определяется волновая функция состояния системы частиц, в котором два фермиона находятся в одночастичном состоянии i , один – в одночастичном состоянии k ?

А. Ψ(x1, x2 , x3 ) =ϕi (x1 )ϕi (x2 )ϕk (x3 )

Б. Ψ(x1, x2 , x3 ) = 12 (ϕi (x1 )ϕi (x2 )ϕk (x3 ) −ϕi (x1 )ϕi (x3 )ϕk (x2 )) В. Ψ(x1, x2 , x3 ) = 13 (ϕi (x1)ϕi (x2 )ϕk (x3 ) −

−ϕi (x1 )ϕi (x3 )ϕk (x2 ) −ϕi (x3 )ϕi (x2 )ϕk (x1)

Г. такого состояния в системе фермионов быть не может 846. Гамильтониан системы тождественных фермионов

А. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как это фермионы Б. антисимметричен относительно перестановок координат, так это фермионы

В. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные Г. антисимметричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные

847. Гамильтониан системы тождественных бозонов А. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как это бозоны

Б. антисимметричен относительно перестановок координат, так это бозоны В. симметричен относительно перестановок координат частиц, так

как частицы тождественные

203

Г. антисимметричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные

848.Гамильтониан системы тождественных невзаимодействующих частиц А. равен сумме одинаковых операторов, каждый из которых дейст-

вует на координаты только одной частицы Б. равен произведению одинаковых операторов, каждый из кото-

рых действует на координаты только одной частицы В. равен сумме одинаковых операторов, каждый из которых действует на координаты только одной пары частиц

Г. равен произведению одинаковых операторов, каждый из которых действует на координаты только одной пары частиц

849.Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином

s = 0 каждый находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужден-

850. Десять тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s =1/ 2 находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой ω . Какова энергия основного состояния системы?

А. 24 ω Б. 25 ω В. 26 ω Г. 27 ω

851. Десять тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s = 3 / 2 находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой ω . Какова энергия основного состояния системы?

А. 10 ω Б. 11 ω В. 12 ω Г. 13 ω

852. Десять тождественных невзаимодействующих бозонов со спином s =1 находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой ω . Какова энергия основного состояния системы?

А. 5 ω Б. 6 ω В. 7 ω Г. 8 ω 853. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спи-

ном s =1/ 2 каждый находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?

А. 3 Б. 4 В. 5 Г. 6

204

854. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином s = 0 каждый находятся в потенциале сферического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?

Указание: кратности вырождения уровней энергии трехмерного осциллятора равны: 1 – для основного состояния, 3 – для первого возбужденного, 6 – для второго возбужденного.

А. 10 Б. 12 В. 14 Г. 16

855. Имеются два фермиона со спином s =1/ 2 каждый. Что можно сказать о спиновой волновой функции состояния с определенным суммарным спином S =1 ?

А. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – фермионы Б. эта функция не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет Г. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых

координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

856. Имеются два фермиона со спином s =1/ 2 каждый. Что можно сказать о спиновой волновой функции состояния с определенным суммарным спином S = 0 ?

А. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – фермионы Б. эта функция не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет Г. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых

координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

857. Имеются два фермиона со спином s =1/ 2 каждый. Какое утверждение относительно спиновой функции состояния, в котором проекция суммарного спина на ось z имеет определенное значение

205

Sz = 0 , а сам суммарный спин определенного значения не имеет,

является верным?

А. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – фермионы Б. эта функция, вообще говоря, не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет Г. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых

координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

858. Имеются два фермиона со спином s = 99 / 2 каждый. Что можно сказать о симметрии спиновой волновой функции состояния, в котором суммарный спин имеет определенное значение

S = 97 ?

А. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – фермионы Б. эта функция не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет Г. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых

координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

859. Имеются два бозона со спином s каждый. Что можно сказать о спиновой волновой функции состояния, в котором суммарный спин имеет определенное значение S = 2s ?

А. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – бозоны Б. эта функция не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

206

Г. эта функция симметрична относительно перестановок координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

860. Имеются два бозона со спином s каждый. Что можно сказать о спиновой волновой функции состояния, в котором суммарный спин имеет определенное значение S = 2s −1 ?

А. эта функция симметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы – бозоны Б. эта функция не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат

В. эта функция антисимметрична относительно перестановок координат частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет Г. эта функция симметрична относительно перестановок координат

частиц по построению независимо от того, являются частицы тождественными или нет

861. Два тождественных фермиона со спином s = 3 / 2 каждый находятся в состоянии с определенным суммарным спином S . Будет ли пространственная часть волновой функции системы обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам?

спин не имеет определенного значения. Будет ли пространственная часть волновой функции системы обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам?

спин имеет определенное значение S =1 . Какова вероятность того, что частицы окажутся в одной точке пространства?

207

ях. Какие значения суммарного спина системы можно обнаружить при измерениях?

А. S = 3 и S =1

Б. только S = 2

В. S = 2 и S = 0

Г. все возможные значения S = 0 , S =1 , S = 2 , S = 3

870. Известно, что волновая функция системы двух тождественных частиц, описывающая состояние с определенным суммарным спином S = 0 , является симметричной относительно перестановок пространственных координат частиц. Какие это частицы?

А. фермионы Б. бозоны

В. информации недостаточно Г. это зависит от пространственного состояния

9.2. Метод вторичного квантования

871. Метод вторичного квантования дает возможность А. проквантовать пространство («первичное») и время («вторичное» квантование)

Б. находить собственные значения и собственные функции гамильтониана системы тождественных частиц В. вычислять матричные элементы различных возмущений с вол-

новыми функциями систем тождественных частиц Г. находить решения временного уравнения Шредингера для систем тождественных частиц

872.Что такое числа заполнения одночастичных состояний? А. это квантовые числа этих состояний Б. это количество «мест» для частиц в этих состояниях

В. это число частиц, которые находятся в этих состояниях Г. это доля заполнения этих «мест» в этих состояниях частицами

873.Имеется система тождественных, невзаимодействующих частиц. Какие два из трех терминов, относящихся к данной системе, – «волновая функция системы», «одночастичная волновая функция», «многочастичная волновая функция» – обозначают одно и то же?

209

874. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

ψ (r1, r2 ) ϕi (r1 )ϕk (r2 ) +ϕk (r1 )ϕi (r2 ) , где ϕi (r ) и ϕk (r) – собст-

венные функции одночастичного гамильтониана, i и n – одночастичные квантовые числа. Какое утверждение относительно чисел заполнения одночастичных состояний в этом состоянии справедливо?

А. числа заполнения состояний k и i имеют определенные значения, равные 1, остальных одночастичных состояний – определенных значений не имеют

Б. числа заполнения состояний k и i имеют определенные значения, равные 1/2, остальных одночастичных состояний – определенных значений не имеют

В. числа заполнения состояний k и i не имеют определенных значений, остальных одночастичных состояний – определенные значения, равные 0

Г. числа заполнения состояний k и i имеют определенные значения, равные 1, остальных одночастичных состояний – определенные значения, равные 0 875. Система тождественных невзаимодействующих частиц нахо-

дится в таком состоянии, в котором числа заполнения состояний одночастичного гамильтониана системы ni имеют определенные

значения. Будет ли это состояние собственным состоянием гамильтониана системы?

А. да Б. нет

В. это зависит от состояния Г. это зависит от чисел заполнения

876. Система тождественных невзаимодействующих частиц находится в одном из собственных состояний гамильтониана системы. Будут ли в этом состоянии числа заполнения одночастичных состояний иметь определенные значения?

А. да Б. нет

В. да, если отсутствует вырождение одночастичных состояний Г. это зависит от того, являются частицы фермионами или бозонами

210