Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008

ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1. Общие свойства одномерного движения

151. Частица движется в некотором потенциале U (x) . Какое из

перечисленных уравнений является стационарным уравнением Шредингера для этой частицы?

152. Частица движется в некотором одномерном потенциале U (x) . Оператор Гамильтона для этой частицы – это

153. Что значит решить стационарное уравнение Шредингера

А. найти все решения fn (x)

Б. найти все конечные решения fn (x)

В. найти все энергии En , при которых это уравнение имеет решения, и сами решения

Г. найти все энергии En , при которых это уравнение имеет конечные решения fn (x) , и сами эти решения

41

154. Какое состояние называется основным?

А. собственное состояние гамильтониана, отвечающее непрерывному спектру, и имеющее минимальную энергию Б. собственное состояние гамильтониана, отвечающее дискретному спектру и имеющее минимальную энергию

В. собственное состояние гамильтониана, отвечающее непрерывному спектру и имеющее максимальную энергию Г. собственное состояние гамильтониана, отвечающее дискретному спектру и имеющее максимальную энергию

155. Какое состояние называется первым возбужденным?

А. собственное состояние гамильтониана, отвечающее дискретному спектру и имеющее минимальную энергию Б. собственное состояние гамильтониана, отвечающее дискретному

спектру и имеющее вторую по счету (в порядке возрастания) энергию В. собственное состояние гамильтониана, отвечающее дискретному

спектру и имеющее третью по счету (в порядке возрастания) энергию Г. собственное состояние гамильтониана, отвечающее непрерыв-

ному спектру и имеющее вторую по счету (в порядке возрастания) энергию 156. Какие состояния называются связанными?

А. собственные состояния гамильтониана, волновые функции которых затухают при x → ±∞

Б. собственные состояния оператора импульса, волновые функции которых затухают при x → ±∞

В. собственные состояния гамильтониана, волновые функции которых не обращаются в бесконечность при конечных значениях координат Г. собственные состояния гамильтониана, волновые функции кото-

рых не затухают при x → ±∞

157. Какие состояния являются связанными в одномерной задаче? А. двукратно вырожденные состояния дискретного спектра Б. невырожденные стационарные состояния непрерывного спектра В. двукратно вырожденные состояния непрерывного спектра

Г. невырожденные стационарные состояния дискретного спектра

42

Б. двукратно вырождены В. часть уровней не вырождена, часть двукратно вырождена

Г. вырождение уровней зависит от конкретного вида потенциала 159. Частица движется в некотором потен-

ординаты x (см. рисунок к задаче 160). Указать области, в которых могут существовать стационарные состояния непрерывного спектра

А. E >U1 В. a1 < x < a2 Г. x < a1 и x > a2

162. Дан график зависимости потенциальной энергии U (x) от координаты x (см. рисунок к задаче 160). При каких энергиях суще-

43

167. Частица движется в некотором потенциале U (x) . Известно, что U (x) → +∞ при x → +∞ и U (x) → −∞ при x → −∞ (см. рисунок к задаче 166). Существуют ли среди стационарных состоя-

169. Частица движется в потенциале U (x) , график которого представлен на рисунке к задаче 168. Какой формулой описывается асимптотика собственной функции гамильтониана при энергии E

(показана на рисунке) при x → ∞( k = 2m(E −U1 ) / 2 )?

А. exp(−kx) Б. exp(ikx) ,

В. линейная комбинация функций exp(ikx) и exp(−ikx) , Г. линейная комбинация функций exp(kx) и exp(−kx) ,

Г. другими

171. Частица движется в потенциале U (x) , который стремится к

некоторым постоянным при x → ±∞ (см. рисунок к задаче 170). Как ведут себя волновые функции двукратно вырожденных стационарных состояний при x → ±∞?

А. растут Б. затухают

В. осциллируют Г. на одной бесконечности затухают, на другой осциллируют

172. Частица движется в потенциале U (x) , который стремится к

некоторым постоянным при x → ±∞ (см. рисунок к задаче 170). Как ведут себя волновые функции невырожденных состояний непрерывного спектра при x → ±∞?

А. растут Б. затухают

В. осциллируют Г. на одной бесконечности затухают, на другой осциллируют

173. Что утверждает осцилляционная теорема?

А. что решения стационарного уравнения Шредингера, отвечающие дискретному спектру, осциллируют Б. что решения стационарного уравнения Шредингера, отвечающие непрерывному спектру, осциллируют

В. что число нулей (узлов) n -го решения стационарного уравнения Шредингера, отвечающего дискретному спектру, равно n

46

Г. что число нулей (узлов) n -го решения стационарного уравнения Шредингера, отвечающего непрерывному спектру, равно n

174. Частица движется в некотором потенциале U (x) , который

обращается в нуль при x → ±∞. Сколько узлов имеет волновая функция третьего возбужденного состояния дискретного (четвертого по счету состояния в порядке возрастания энергии)?

В. эти функции отвечают вырожденным по энергии состояниям

47

ливо?

А. эта функция отвечает дискретному спектру Б. эта функция отвечает невырожденному состоянию непрерывного спектра

В. эта функция отвечает двукратно вырожденному состоянию непрерывного спектра Г. все перечисленное неверно

179. Потенциальная энергия частицы U (x) – четная функция координаты. Что можно сказать о коммутаторе операторов Гамиль-

связаны друг с другом

180. Частица движется в потенциале U (x) . Коммутатор операто-

ров Гамильтона и четности ˆ для такой частицы равен

P

А. нулю Б. U (−x)

В. (U (x) −U (−x))

( − − ) ˆ

Г. U (x) U ( x) P

181. Потенциальная энергия частицы – четная функция координаты. Волновая функция третьего возбужденного стационарного состояния дискретного спектра (четвертого по счету состояния в порядке возрастания энергии)

182. Потенциальная энергия частицы U (x) =αx4 , где α > 0 – не-

которое число. Волновая функция четвертого возбужденного состояния дискретного спектра (пятого по счету состояния в порядке возрастания энергии)

48

183. Потенциальная энергия частицы U (x) – четная функция ко-

ординаты. Что можно сказать о волновых функциях стационарных состояний дискретного спектра?

А. все четные Б. все нечетные

В. не обладают определенной четностью Г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.) с увеличением энергии состояния

184. Потенциальная энергия частицы U (x) – нечетная функция

координаты. Что можно сказать о волновых функциях стационарных состояний дискретного спектра?

А. все четные Б. все нечетные

В. не обладают определенной четностью Г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.) с увеличением энергии состояния

185. Потенциальная энергия частицы U (x) – четная функция ко-

ординаты. Что можно сказать о волновых функциях стационарных состояний непрерывного спектра?

А. все четные Б. все нечетные

В. их можно выбрать так, чтобы одна была четная, вторая нечетная Г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.) с увеличением энергии состояния

186. Потенциальная энергия частицы U (x) – нечетная функция

координаты. Что можно сказать о волновых функциях стационарных состояний непрерывного спектра?

А. все четные Б. все нечетные

В. можно выбрать так, чтобы одна была четная, вторая нечетная Г. обладают неопределенной четностью

49

2.2. Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная потенциальная яма

187.Частица находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Что можно сказать о собственных значениях оператора Гамильтона?

А. все относятся к непрерывному спектру Б. все относятся к дискретному спектру

В. часть относится к непрерывному спектру, часть – к дискретному Г. это зависит от ширины ямы

188.Какой формулой определяются энергии стационарных состояний частицы массой m в бесконечно глубокой прямоугольной по-

тенциальной яме шириной a (здесь n =1, 2,3,…)?

189. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана частицы массой m в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме, расположенной между точками x = 0 и x = a ?

190. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме, расположенной между точками x = −a / 2 и x = a / 2 ?

50