Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008

20. Сколько собственных значений имеет оператор, заданный мат-

21.Оператором, обратным оператору четности, является А. оператор четности Б. оператор однократного дифференцирования

В. оператор возведения в квадрат Г. оператор двукратного дифференцирования.

22.Чему равны собственные значения оператора, заданного матри-

23. Оператор id / dx , действующий в пространстве функций, заданных на интервале (−∞, +∞) , в котором определено скалярное

24. Коммутатор операторов d / dx и умножения на функцию f (x)

26. Спектр собственных значений оператора является дискретным. Это значит, что А. оператор имеет бесконечное количество собственных значений

Б. оператор имеет бесконечное количество положительных собственных значений

11

В. собственные значения можно пересчитать, даже если их число бесконечно Г. собственным значением является любое число из некоторого

интервала значений

27.Спектр собственных значений оператора является непрерывным. Это значит, что А. оператор не имеет собственных значений

Б. оператор имеет конечное число собственных значений В. оператор имеет бесконечное число собственных значений, которые можно пересчитать

Г. собственным значением является любое число из некоторого интервала значений

28.Что такое шпур матрицы оператора?

А. сумма всех элементов его матрицы Б. сумма всех элементов, находящихся в матрице этого оператора выше главной диагонали

В. сумма всех элементов, находящихся в матрице этого оператора ниже главной диагонали Г. сумма всех диагональных элементов матрицы этого оператора

31. Сумма операторов d / dx и d 2 / dx2 на произвольную функцию f (x) действует так:

12

36. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит А. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями

Б. выбрать другой базис, в котором матрица оператора кратна единичной матрице В. выбрать другой базис, в котором матрица оператора равна единичной матрице

Г. выбрать другой базис, в котором матрица оператора диагональна 37. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать собственные функции некоторого эрмитового оператора, то его мат-

38. Почему матрицу любого эрмитового оператора можно привести к диагональному виду?

А. потому что его собственные значения вещественны Б. потому что его собственные функции ортогональны

13

В. потому что его собственные функции образуют ортогональный базис в том пространстве, в котором оператор действует Г. потому что операторы физических величин эрмитовы

39. Пусть f1 (x) и f2 (x) – собственные функции некоторого линейного оператора, отвечающие собственным значениям a1 и a2 .

Функция C1 f1 (x) +C2 f2 (x) ( C1 и C2 – произвольные числа) А. будет собственной функцией того же оператора

Б. будет собственной функцией того же оператора, если a1 = a2

В. никогда не будет собственной функцией того же оператора Г. будет тождественно равна нулю

40. В некотором линейном пространстве выбран ортонормированный базис { fi } . Какой формулой определяются матричные элемен-

ты матрицы некоторого линейного оператора ˆ , действующего в

A

этом пространстве?

41. Пусть в некотором линейном пространстве выбраны два ортонормированных базиса { fi } и {ei}. Матрицей перехода от одного

базиса к другому называется матрица Ski , составленная из коэффициентов разложения одной базисной системы по другой: fi = ∑Skiek . Матрица Ski

14

46.Какая из величин, составленных из элементов матрицы оператора является инвариантной относительно выбора базиса в том пространстве, в котором оператор действует?

А. сумма всех матричных элементов Б. шпур (сумма всех диагональных элементов)

В. разность элементов, стоящих в матрице выше и ниже диагонали Г. элемент, стоящий на пересечении первой строки и первого столбца

1.2.Общие свойства собственных функций и собственных значений операторов физических величин

47.Система находится в состоянии с нормированной волновой функцией Ψ(x,t) . Разложение этой функции по нормированным

собственным функциям оператора физической величины ˆ , fn (x) A

обладающего дискретным спектром собственных значений an , имеет вид: Ψ(x,t) = ∑Cn (t) fn (x) . Пусть каждому собственному значению an отвечает единственная собственная функция fn (x) .

15

Чему равна вероятность того, что в момент времени t величина A имеет значение, равное an ?

линейно независимых функции), a3 ↔ f3 (x) , …. Задано разложение нормированной волновой функции квантовой системы Ψ(x) по собственным функциям

Ψ(x) = C1 f1 (x) +C21 f21 (x) +C22 f22 (x) +C3 f3 (x)

(где C – некоторые числа). Измеряют физическую величину A . С какой вероятностью значение a2 можно получить при измерениях?

49. В некоторый момент времени нормированная волновая функ-

ция системы имеет вид Ψ(x) = 13 ϕA=1 (x) + 23 ϕA=3 (x) , где

ϕA=1 (x) и ϕA=3 (x) – нормированные собственные функции опера-

тора физической величины ˆ , отвечающие собственным значени-

A

ям A =1 и A = 3 , соответственно. Среднее значение величины фи-

50. Частица находится в квантовом состоянии, описываемом нормированной волновой функцией Ψ(r,t) . Какое из нижеследующих утверждений справедливо?

А. Ψ(r,t) 2 dV есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в объеме dV в окрестности точки r

16

Г. среднюю четность в этом состоянии нельзя определить 56. Пространство состояний частицы представляет собой простран-

ство функций одной переменной, определенных на отрезке [−a, a] . Частица находится в состоянии с нормированной волновой функ-

состоянии квантовой системы определенное значение (или, как иногда говорят, является измеримой)?

А. результаты многократных измерений величины A над ансамблем таких квантовых систем дадут одинаковые результаты

Б. в данном состоянии квантовой системы величину A можно измерить

В. результаты повторных измерений величины A в одной и той же квантовой системе дадут одинаковые результаты

Г. величину A в принципе можно измерить

58. Физическая величина A имеет в состоянии с волновой функциопределенное значение, если

А. Ψ не зависит от времени

Б. Ψ(x,t) совпадает с одной из собственных функций оператора

этой физической величины ˆ

A

В. Ψ(x,t) является собственной функцией оператора Гамильтона системы Г. Ψ не зависит от координат

59. Оператор некоторой физической величины имеет непрерывный спектр собственных значений. Интеграл от квадрата модуля собственной функции А. сходится Б. расходится

В. для некоторых состояний сходится, для некоторых расходится Г. это не связанные друг с другом вещи

18

60.Оператор некоторой физической величины имеет дискретный спектр собственных значений. Интеграл от квадрата модуля собственной функции А. сходится Б. расходится

В. для некоторых состояний сходится, для некоторых расходится Г. это не связанные друг с другом вещи

61.Эрмитов оператор действует в линейном пространстве функций одной переменной. Какой формулой выражается условие ортого-

нальности собственных функций f1 (x) и f2 (x) , отвечающих разным собственным значениям?

62.Разные собственные функции эрмитового оператора, отвечающие одному и тому же вырожденному собственному значению А. всегда ортогональны Б. всегда не ортогональны

В. вообще говоря, не ортогональны, но могут быть выбраны так, чтобы были ортогональны Г. ортогональность или неортогональность зависитот оператора

63.Какой формулой выражается условие нормировки собственных

функций fa (x) оператора физической величины, имеющего непрерывный спектр собственных значений a ?

(где δ(...) – δ -функция)

64. Какой формулой выражается условие нормировки собственных

19

(где δ(...) – δ -функция)

65. Какой формулой выражается условие полноты системы собственных функций fa (x) оператора физической величины, имеющего непрерывный спектр собственных значений

66. Оператор некоторой физической величины A имеет различные собственные значения an и отвечающие им нормированные собст-

венные функции fn (x) . Какой должна быть нормированная волновая функция ψ(x) квантовой системы, чтобы при измерении физической величины A в ней с единичной вероятностью можно было обнаружить значение (a1 + a2 ) / 2 ?

А. ψ(x) = ( f1 (x) + f2 (x))/ 2

Б. ψ(x) = ( f1 (x) + f2 (x) + f3 (x))/ 3

В. ψ(x) = f1 (x) + f2 (x)

Г. такого состояния не существует

67. Оператор некоторой физической величины A имеет различные собственные значения an и отвечающие им нормированные собст-

венные функции fn (x) . Какой должна быть нормированная волновая функция ψ(x) системы, чтобы при измерении физической величины A в ней с равными вероятностями можно было обнаружить значения a1 и a2 , а с вдвое большей вероятностью – a3 ?

А. ψ(x) = (f1 (x) − f2 (x) + 2if3 (x))/ 6 Б. ψ(x) = (f1 (x) − f2 (x) − 2 f3 (x))/ 6

В. ψ(x) = (f1 (x) + f2 (x) − 2if3 (x))/ 2

Г. такого состояния не существует

20