Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
.pdf
А. −i |
|
∂ |
|
|
Б. i |
∂ |
|
||
|
∂px |
|
∂px |
||||||
|
|
|
|
||||||
В. оператор умножения на импульс |
px |
Г. −i |
|
∂ |
|
||||
|
∂x |
||||||||
111. |
Собственная функция fa ( p) |
|
|
|
|||||
оператора координаты, отве- |
|||||||||
чающая собственному значению |
a , в импульсном представлении |
|||||||||
равна |
|
|
pa |
|
|
|
|
|
||
А. |
fa ( p) = exp |
−i |
|
|
Б. |
fa ( p) =δ (p −a) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa |
|
|
pa |
|||||
В. |
fa ( p) = cos |
|
|
|
|
Г. |
fa ( p) = exp i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
112. Собственная функция f p ( p) |
оператора импульса в импульс- |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
ном представлении, отвечающая собственному значению p1 , равна
|
f p1 |
|
−i |
( p − p ) |
|
f p1 |
( p) =δ (p − p1 ) |
|
|||
А. |
( p) = exp |
|
1 |
|
Б. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − p ) |
|
|
|
|
( p − p ) |
|||
В. |
f p1 |
( p) = cos |
|
1 |
|
|
Г. |
f p1 |
( p) = exp i |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113. Состояние частицы описывается волновой функцией Ψ(x,t) . По какой из нижеперечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в импульсном представлении C( p,t) ?
А. C( p,t) = Ψ( p,t)
Б. C( p,t) = |
1 |
|
∫Ψ(x,t)e−i |
px |
dx |
|||
|
|
|||||||
2π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
В. C( p,t) = |
1 |
|
∫Ψ(x,t)sin (px / )dx |
|||||
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. C( p,t) = |
1 |
|
∫Ψ(x,t)ei |
px |
dx |
|||
|
|
|||||||
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
114. Квадрат модуля нормированной волновой функции частицы в импульсном представлении определяет вероятности А. различных значений координаты частицы
31
Б. различных значений координаты и импульса частицы В. различных значений энергии частицы Г. различных значений импульса частицы
115. Дана волновая функция некоторого состояния частицы в импульсном представлении C( p,t) . По какой из нижеперечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в координатном представлении Ψ(x,t) ?
А. Ψ(x,t) = C(x,t)
Б. Ψ(x,t) = |
1 |
|
∫C( p,t)e−i |
px |
dp |
|||
|
|
|||||||
2π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
В. Ψ(x,t) = |
1 |
|
∫C( p,t)ei |
px |
dp |
|||
|
|
|||||||
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. Ψ(x,t) = |
1 |
|
∫C( p,t)sin (px / )dp |
|||||
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
116.Оператор энергии в энергетическом представлении – это А. оператор дифференцирования по энергии
Б. оператор двукратного дифференцирования по координате плюс умножение на потенциальную энергию В. оператор умножения на энергию Г. ни один из перечисленных
117.Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр
собственных значений a и собственных функций fa (x) ( fa (x)
нормированы на δ -функцию от a ). Частица находится в состоянии с волновой функцией Ψ(x) . По какой формуле можно найти волновую функцию этого состояния C(a) в A -представлении?
А. C(a) = ∫dxΨ(x) fa (x) |
Б. C(a) = ∫dxΨ(x) fa* (x) |
В. C(a) = ∫dxΨ* (x) fa* (x) |
Г. C(a) = ∫dxΨ* (x) fa* (x) |
118. Имеют ли операторы координаты и четности, действующие в пространстве функций одной переменной, полную систему общих собственных функций?
А. да Б. нет
32
В. в некоторых случаях имеют, в некоторых нет Г. это зависит от размерности пространства волновых функций
119. Имеют ли операторы координаты и четности, действующие в пространстве функций одной переменной, общие собственные функции?
А. да Б. нет
В. в некоторых случаях имеют, в некоторых нет Г. это зависит от размерности пространства
1.4. Зависимость физических величин от времени. Уравнение Шредингера
120. Частица находится во внешнем поле U (r,t) . Какой из приве-
денных формул определяется оператор Гамильтона частицы ˆ
H ?
ˆ = − i
А. H
m
ˆ =
В. H U (r,t)
ˆ = −
Б. H
2
2m
ˆ |
2 |
+U (r,t) |
|
||
Г. H = − 2m |
||
121. Частица находится во внешнем поле U (r,t) . Какое из ниже-
следующих уравнений является временным уравнением Шредингера для волновой функции этой частицы?
|
∂Ψ |
|
|
|
2 |
|
Б. i |
∂Ψ |
=U (r, t)Ψ |
|
|
А. i |
|
= |
− |
|
+U (r,t) Ψ |
|
|
|
|||
∂t |
2m |
|
∂t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂Ψ |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
В. i |
|
= |
− |
|
|
−U (r,t) Ψ |
Г. |
− |
|
+U (r,t) |
Ψ =EΨ |
∂t |
|
2m |
2m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
122. Какое из нижеследующих уравнений является временным уравнением Шредингера для волновой функции частицы?
А. i |
∂Ψ |
ˆ |
|
i |
∂2Ψ |
ˆ |
|
|
∂t |
= H Ψ |
Б. |
∂t2 |
= H |
Ψ |
|||
|
∂Ψ |
ˆ |
|
∂2Ψ |
ˆ |
|
||
В. |
|
∂t = H Ψ |
Г. |
|
∂t2 = H Ψ |
|
||
33
123.Для однозначного нахождения решения временного уравнения Шредингера нужно задать:
А. волновую функцию во всех точках в начальный момент времени Б. волновую функцию и ее первую производную по времени во всех точках в начальный момент времени В. волновую функцию, ее первую и вторую производные по време-
ни во всех точках в начальный момент времени Г. волновую функцию, ее первую, вторую и третью производные
по времени во всех точках в начальный момент времени
124.Частица находится во внешнем поле U (r ) . Какое из нижесле-
дующих уравнений является стационарным уравнением Шредингера для энергий и волновых функций стационарных состояний этой частицы?
|
∂Ψ |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
А. i |
|
= |
− |
|
+U (r ) Ψ |
Б. |
− |
|
+U (r ) Ψ =EΨ |
|
∂t |
2m |
2m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В. i ∂Ψ = EΨ |
Г. − ΔΨ =U (r )Ψ |
||
|
2 |
|
|
∂t |
|
|
|
|
2m |
|
|
125.Какое из нижеперечисленных уравнений или законов относится к уравнениям на собственные значения и собственные функции какого-либо оператора?
А. временное уравнение Шредингера Б. стационарное уравнение Шредингера В. закон сохранения вероятности Г. принцип суперпозиции
126.Гамильтониан некоторой квантовой системы не зависит от
времени. Собственные функции ϕn (x) и собственные значения En
этого гамильтониана известны. Какой из нижеследующих формул описывается общее решение временного уравнения Шредингера
Ψ(x,t) ?
А. Ψ(x,t) = ∑Cn ϕn (x)e−i |
Ent |
Б. Ψ(x,t) = ∑Cn ϕn (x)e−i |
Ent |
|
|||
|
|
|
|
||||
n |
n |
||||||
В. Ψ(x,t) = ∑Cn ϕn (x)e−i |
Ent |
|
Г. Ψ(x,t) = ∑Cn ϕn (x)e−i |
Ent |
|||
|
|
||||||
n |
n |
||||||
34
127. Гамильтониан некоторой квантовой системы не зависит от времени. Собственные функции ϕn (x) и собственные значения En
этого гамильтониана известны. Какой из нижеперечисленных функций определяется волновая функция стационарного состояния системы Ψ(x,t) ?
А. Ψ(x,t) =ϕn (x)e |
−i |
Ent |
Б. Ψ(x,t) =ϕn (x) |
|||
|
||||||
|
|
|||||
В. Ψ(x,t) = e−i |
Ent |
|
|
|
Г. Ψ(x,t) = ∑Cn ϕn (x)e−i |
Ent |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
128.Гамильтониан частицы не зависит от времени. Будут ли зависеть от времени волновые функции стационарных состояний частицы?
А. нет Б. да
В. это зависит от начальных условий Г. это зависит от гамильтониана
129.Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Волновая функция частицы в начальный момент времени совпадает с одной из собственных функций оператора Гамильтона частицы. Как зависит от времени среднее значение координаты частицы?
А. растет Б. убывает
В. не зависит от времени Г. по-разному, в зависимости от потенциальной энергии
130.Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Известно, что частица находится в состоянии с определенной энергией. Как зависит от времени среднее значение координаты частицы? А. растет Б. убывает
В. не зависит от времени Г. по-разному, в зависимости от состояния
131.Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Частица находится в состоянии с определенной энергией. Как зависит от времени среднее значение импульса частицы в этом состоянии?
А. растет |
Б. убывает |
В. не зависит от времени |
Г. осциллирует |
35
132.Гамильтониан частицы не зависит от времени. Частица находится в стационарном состоянии. Как зависят от времени вероятности различных значений некоторой физической величины, оператор которой не коммутирует с оператором Гамильтона?
А. не зависят от времени Б. растут В. убывают
Г. поведение волновых функций зависит от оператора данной физической величины
133.Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Среднее значение физической величины в некотором состоянии зависит от времени. Какое из нижеследующих утверждений относительно свойств состояния и оператора физической величины обязательно справедливо?
А. энергия системы в этом состоянии имеет определенное значение Б. оператор физической величины не коммутирует с оператором Гамильтона В. оператор этой физической величины коммутирует с оператором Гамильтона
Г. импульс системы в этом состоянии имеет определенное значение
134.Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Частица находится в стационарном состоянии. Какое утверждение в любом случае является верным?
А. волновая функция этого состояния не зависит от времени Б. импульс частицы в этом состоянии имеет определенное значение
В. энергия частицы в этом состоянии имеет определенное значение Г. оператор импульса коммутирует с оператором Гамильтона
135.Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Как зависят от времени вероятности различных значений энергии системы?
А. растут |
Б. убывают |
В. не зависят от времени |
Г. это зависит от состояния |
136. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Как зависит от времени среднее значение координаты системы в неко-
тором состоянии? |
|
А. растет |
Б. убывает |
В. не зависит от времени |
Г. это зависит от состояния |
36
137.Гамильтониан частицы не зависит от времени. Частица находится в таком состоянии, в котором среднее значение любой физической величины не зависит от времени. Измеряют энергию частицы. Что будет обнаружено в результате измерений?
А. любое число из некоторого интервала значений Б. все собственные значения гамильтониана с равными вероятностями
В. некоторое собственное значение гамильтониана с единичной вероятностью Г. информации для ответа недостаточно
138.Физическая величина A для некоторой квантовой системы является интегралом движения. Какие величины будут сохраняться?
А. будут совпадать результаты всех измерений величины A , выполненных в разные моменты времени над ансамблем таких квантовых систем Б. не будет меняться оператор Гамильтона квантовой системы
В. среднее значение результатов многих измерений величины A не будет зависеть от времени Г. волновая функция квантовой системы не будет зависеть от времени
139.Физическая величина является интегралом движения, если А. оператор этой величины не зависит от времени Б. оператор этой величины не зависит от времени и коммутирует с оператором импульса
В. оператор этой величины не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона Г. оператор этой величины не зависит от времени и коммутирует с оператором координаты
140.Если оператор некоторой физической величины не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то А. среднее значение этой величины в любом состоянии не зависит от времени
Б. эта величина имеет определенное значение в любом состоянии В. эта величина есть энергия Г. среднее значение этой величины не зависит от времени только в стационарных состояниях
37
141.Энергия квантовой системы является интегралом движения,
если А. если оператор Гамильтона коммутирует с оператором импульса
Б. если оператор Гамильтона коммутирует с оператором координаты В. если оператор Гамильтона коммутирует сам с собой
Г. если оператор Гамильтона не зависит от времени
142.Средний импульс частицы в некотором состоянии не зависит от времени. Будет ли оператор импульса коммутировать с оператором Гамильтона?
А. да Б. нет
В. зависит от оператора импульса Г. информации для ответа на вопрос недостаточно
143.Оператор Гамильтона частицы не зависит от времени. Оператор некоторой физической величины коммутирует с оператором Гамильтона. Будут ли волновые функции стационарных состояний собственными функциями этого оператора?
А. да |
Б. нет |
В. если нет вырождения, то да |
Г. это зависит от оператора |
144. Частица движется в потенциале U (x) , который является четной функцией координаты. Волновая функция частицы в начальный момент времени Ψ(x,t = 0) является нечетной функцией ко-
ординат. Волновая функция частицы при t > 0 будет А. нечетной функцией Б. четной функцией
В. обладать неопределенной четностью
Г. четность волновой функции при t > 0 зависит от потенциала 145. Частица движется в потенциале U (x) , который является нечетной функцией координаты. Волновая функция частицы в начальный момент времени Ψ(x,t = 0) является нечетной функцией
координат. Волновая функция частицы при t > 0 будет А. нечетной функцией Б. четной функцией
В. обладать неопределенной четностью
Г. четность волновой функции при t > 0 зависит от потенциала
38
146.Гамильтониан частицы зависит от времени. Волновая функция частицы в начальный момент времени нормирована на 2. Что можно сказать о нормировочном интеграле в последующие моменты времени?
А. в любой момент времени волновая функция нормирована на 2 независимо от гамильтониана Б. в любой момент, кроме начального, волновая функция нормирована на 1
В. нормировочный интеграл с течением времени возрастает Г. поведение нормировочного интеграла зависит от гамильтониана
147.Закон сохранения вероятности есть следствие того, что
А. волновая функция не зависит от времени Б. оператор координаты не зависит от времени
В. нормировка волновой функции не зависит от времени Г. оператор Гамильтона не зависит от времени
148.Закон сохранения вероятности говорит о том, что А. волновая функция не зависит от времени
Б. увеличение вероятности обнаружить частицу в одной области пространства сопровождается уменьшением вероятности обнаружить ее в другом В. оператор вероятности коммутирует с оператором Гамильтона
Г. вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства не зависит от времени
149.Какая формула есть математическое выражение закона сохранения вероятности?
|
∂Ψ |
|
|
2 |
|
|
А. i |
|
= |
− |
|
+U (r,t) Ψ |
|
∂t |
2m |
|||||
|
|
|
|
Б. |
∂ |
|
Ψ(r, t) |
|
2 + divJ (r,t) = 0 |
|||
|
|
|||||||
∂t |
||||||||
|
∂Ψ = − |
2 |
ΔΨ |
|||||
В. i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂t |
|
||||
|
|
|
2m |
|
||||
|
ˆ |
Ψ =EΨ |
|
|
||||
Г. H |
|
|
||||||
39
150. Состояние частицы описывается волновой функцией Ψ(r,t) . Какой формулой определяется вектор плотности потока вероятности J (r ,t) (с точностью до множителя)?
А. J (r ,t) Ψ(r,t) Ψ* (r,t) −Ψ* (r,t) Ψ(r,t) Б. J (r ,t) Ψ(r,t)ΔΨ* (r ,t) −Ψ* (r, t)ΔΨ(r ,t)
В. J (r, t) ΔΨ(r ,t) Ψ* (r ,t) −ΔΨ* (r,t) Ψ(r,t) Г. J (r ,t) Ψ(r,t)Ψ* (r,t) −Ψ* (r ,t)Ψ(r,t)
40