Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
.pdf
А. −i + 2 Б. i + 2 В. i −2 Г. −i −2
532. Дана спиновая волновая функция некоторого состояния частицы
|
i / 3 |
|
|
|
2 / 3 −2i / 3 |
|
. Что можно сказать о нормировке этой |
ψ (sz )= |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
функции? |
|
|
|
А. она нормирована на 1 |
Б. она нормирована на 2 |
В. она нормирована на 3 |
Г. она нормирована на 9 |
533. Частица находится в |
состоянии с волновой функцией |
ψ(s |
|
|
−3i / 11 |
|
z |
) = |
|
. Будет ли квадрат проекции спина на ось z |
|
|
|
2 /11 |
|
|
|
|
|
|
иметь определенное значение в этом состоянии? |
||
А. да |
Б. нет |
В. зависит от способа измерений |
Г. недостаточно информации, чтобы ответить |
||
534. Частица |
находится в |
состоянии с волновой функцией |
|
−1/ 2 |
|
|
|
||
ψ (sz )= |
0 |
. Будет ли |
квадрат проекции спина |
на ось |
z |
|
i |
3 / 2 |
|
|
|
||
иметь определенное значение в этом состоянии? |
|
|
||||
А. да |
|
Б. нет |
В. зависит от способа измерений |
|||
Г. недостаточно информации, чтобы ответить |
|
|
||||
535. Частица |
находится в |
состоянии с волновой |
функцией |
|||
−1/ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
ψ (sz )= i / |
. Будет ли квадрат проекции спина на ось |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иметь определенное значение в этом состоянии?
А. да Б. нет В. зависит от способа измерений Г. недостаточно информации, чтобы ответить
536. Частица со спином s =1 находится в состоянии со спиновой функцией
121
|
|
|
1/ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
в этом состоянии. |
||
|
|
|||||||||
ψ (sz )= 1/ |
. Найти sz |
2 |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. sz 2 =1/ 3 |
|
|
|
|
Б. sz 2 |
= 2 / 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. sz 2 =1/ 6 |
|
|
|
|
Г. sz 2 |
=5 / 6 |
||||
537. Спин частицы равен 1/2. Чему равны собственные значения оператора проекции спина на ось y ?
А. +1 и −1 |
Б. +1/ 2 и −1/ 2 |
В. +1, 0 и −1 |
Г. +3 / 2 , +1/ 2 , −1/ 2 и −3 / 2 |
538. Частица со спином 1/2 находится в состоянии, в котором проекция ее спина на ось z с вероятностью 1/4 принимает значение 1/2 и с вероятностью 3/4 – значение –1/2. Какой функцией не может описываться состояние такой частицы?
|
|
−1/ 2 |
|
Б. ψ(sz ) = |
−i 3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А. ψ(sz ) = |
|
3 / 2 |
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В. ψ(sz ) = |
1 |
|
3 |
|
|
|
Г. ψ(sz ) = |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
539. Какая матрица (матрицы) отвечает эрмитовому оператору? |
|
||||||||||||||||||||
1 0 |
|
|
|
Б. |
|
0 1 |
|
В. |
0 0 |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
||
0 0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
||
540. Какая матрица (матрицы) отвечает эрмитовому оператору? |
|
||||||||||||||||||||
i 0 |
|
|
|
Б. |
0 i |
|
В. |
i |
0 |
|
0 i |
|
|
|
|
|
|||||
А. |
|
|
|
|
−i 0 |
|
|
|
|
|
Г. |
0 |
|
|
|
|
|
||||
0 i |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−i |
|
i |
|
|
|
|
|
|||||
541. Коммутатор [sˆx , sˆz ] |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
А. isˆx |
|
|
|
Б. isˆy |
|
В. −isˆy |
|
|
|
|
|
Г. sˆ2 |
|
|
|
||||||
542. Какой из перечисленных коммутаторов равен нулю? |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
А. только |
sˆ2 , sˆ |
Б. только |
sˆ2 |
, sˆ |
|
|
|
|
Г. только |
sˆ2 |
, sˆ |
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||
Г. все перечисленные
122
543. Выбрать верное равенство
А. [sˆ+, sˆ− ] = 2sˆx |
Б. [sˆ+, sˆ− ] = 2sˆy |
В. [sˆ+, sˆ− ] = 2sˆz |
Г. [sˆ+, sˆ− ]= 2sˆ2 |
(где sˆ± = sˆx ±isˆy |
– повышающий и понижающий проекцию спина |
частицы на ось z |
операторы) |
544. Спин частицы равен 1. Какая матрица отвечает оператору sˆz в
sz -представлении? |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
А. |
1 |
|
Б. |
|
|||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
В. |
|
Г. |
|
||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
||||||
545. Спин частицы равен 3/2. Какая матрица отвечает оператору sˆz
в sz -представлении? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
0 |
0 0 |
|||||
|
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 0 |
|
|||
А. |
|
|
Б. |
|
|
||||||||||||
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
0 |
0 |
−1 0 |
|
|||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 −3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
В. |
|
|
Г. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
546. Спин частицы равен 100 . Какой является матрица оператора sˆz ?
А. диагональной, размерности 100 ×100 , на диагонали числа
100, 99, ..., 1
123
Б. диагональной, размерности 101×101 , на диагонали числа
100, 99, ..., 0
В. диагональной, размерности 200×200 , на диагонали числа
100, 99, ..., −99, −100
Г. диагональной, |
размерности 201×201, |
на |
|
диагонали числа |
|||||||
100, 99, ..., −99, −100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
547. Спин частицы равен 1/2. Матрица оператора sˆ2 – это |
|||||||||||
А. |
3 |
1 0 |
Б. |
3 |
1 |
0 |
В. |
1 |
1 |
0 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||
|
0 1 |
|
0 |
−1 |
|
0 |
−1 |
||||
Г. |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
548. Какая функция получится в результате действия оператора sˆ2
|
|
|
1 |
|
|
|
на спиновую волновую функцию ψ(sz ) = |
2 |
? |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
3/ 4 |
|
3/ 4 |
|
||
А. ψ(sz ) = |
|
Б. ψ(sz ) = |
|
|
|
|
|
−6 / 4 |
|
6 / 4 |
|
||
|
−3/ 4 |
|
−3 / 4 |
|||
В. ψ(sz ) = |
|
Г. ψ(sz ) = |
−6 / 4 |
|
||
|
6 / 4 |
|
|
|||
549. Спин частицы равен 1. Матрица оператора sˆ2 – это
|
2 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
А. |
|
|
Б. |
|
||||||
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
В. |
|
Г. |
|
|||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
|||||||
550. Спин частицы равен 3/2. Матрица оператора sˆ2 – это
124
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
3 0 0 0 |
||||||||||
А. |
9 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
Б. |
15 |
|
0 1 0 0 |
|||||||||
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
0 0 −1 0 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 0 0 −3 |
||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
В. |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Г. |
9 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
4 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
−1 0 |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
−3 |
||||||
551. Какая из четырех нижеприведенных матриц отвечает оператору sˆ+ ?
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
А. |
0 |
0 |
|
Б. |
0 |
0 |
|
В. |
0 |
1 |
|
Г. |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
552. Какая из четырех нижеприведенных матриц отвечает оператору sˆ− ?
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
А. |
0 |
0 |
|
Б. |
0 |
0 |
|
В. |
0 |
1 |
|
Г. |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
553. Какая функция поучается в результате действия оператора, повышающего проекцию спина частицы на ось z , на спиновую
1
функцию ψ(sz ) = 0 ?
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
А. ψ(sz ) = |
|
Б. ψ (sz ) |
В. ψ (sz ) |
||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Г. ψ (sz ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
действии оператора sˆ+ на |
554. Какая |
функция |
получится при |
|||||
функцию ψ(sz ) = |
1 |
|
1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
125
А. |
1 |
|
|
0 |
|
Б. |
1 |
|
1 |
|
В. |
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|||||
Г. |
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
555. Спин частицы равен ½. Какая из нижеприведенных матриц
является матрицей оператора sˆy |
в sz -представлении? |
||||||||
А. |
1 |
|
0 |
1 |
Б. |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
||
|
|
−1 0 |
|
|
−1 |
||||
В. |
1 |
|
0 −i |
Г. |
1 |
−i |
0 |
||
2 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
||
|
i |
0 |
|
|
i |
||||
556. Спин частицы равен ½. Оператор квадрата проекции спина на ось y равен
А. |
1 |
0 1 |
Б. |
1 |
1 |
0 |
В. |
1 |
0 |
−1 |
||||
4 |
|
|
4 |
|
0 |
|
4 |
|
1 |
0 |
|
|||
|
1 0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||
Г. |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
557. Спин частицы равен ½. Какие из перечисленных функций являются собственными функциями оператора sˆy 2 ?
|
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
А. только |
|
и |
|
Б. только |
и |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
−1 |
|
1 |
1 |
|
Г. все двухкомпонентные столбцы |
|||
В. только |
|
и |
|
|||
i |
−i |
|
|
|
||
558. Какая из четырех нижеперечисленных матриц является одной из матриц Паули?
|
0 1 |
i |
0 |
0 −i |
0 i |
|
||||
А. |
−1 0 |
|
Б. |
0 |
|
В. |
0 |
|
Г. |
|
|
|
|
−i |
i |
|
i 0 |
|
|||
559. Какая из четырех нижеперечисленных матриц является матрицей Паули σz ?
126
А. |
|
0 1 |
Б. |
1 |
0 |
|
В. |
0 −i |
Г. |
0 i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
−1 0 |
|
0 |
−1 |
|
|
i |
|
|
i 0 |
|
|
||||||
560. Какая матрица отвечает оператору sˆxsˆy −sˆysˆx ? |
|
|
||||||||||||||||
А. |
1 |
i 0 |
|
Б. |
1 |
|
0 i |
В. |
1 |
i |
|
0 |
Г. |
1 |
0 i |
|||
2 |
|
|
2 |
|
−i 0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
||||
|
0 i |
|
|
|
|
|
0 |
|
−i |
|
i |
|
||||||
561. Из четырех нижеприведенных спиновых функций только одна является собственной функцией оператора sˆx . Какая?
|
1 |
|
i |
А. ψ(sz ) = |
|
Б. ψ(sz ) = |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
В. ψ(sz ) = |
Г. ψ(sz ) = |
||
|
−1 |
0 |
|
562. Из четырех нижеприведенных состояний только в одном величина sx имеет определенное значение. В каком?
|
1 |
1 |
А. ψ(sz ) = |
Б. ψ(sz ) = |
|
|
0 |
2 |
|
1 |
1 |
В. ψ(sz ) = |
Г. ψ(sz ) = |
|
|
3 |
1 |
563. Какая из нижеперечисленных функций является собственной функцией оператора sˆy ?
1 |
|
−i |
|
1 |
А. ψ(sz ) = |
Б. ψ(sz ) = |
В. ψ(sz ) = |
||
i |
|
i |
|
−1 |
1 Г. ψ(sz ) = 1
564. Чему равно среднее значение проекции спина на ось x в со-
0
стоянии ψ(sz ) = 1 ?
А. sx = −1/ 4 |
Б. sx =1/ 4 В. sx =1/ 3 |
Г. sx = 0 |
127
565. Чему равно среднее значение проекции спина на ось |
x в со- |
||||||
стоянии ψ(sz ) = |
|
3 / 2 |
|
|
|
||
|
1/ 2 |
? |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
А. sx = 3 / 8 |
|
Б. sx = − 3 / 8 |
В. sx = 3 / 4 |
|
|||
Г. sx = − 3 / 4 |
|
|
|
|
y в со- |
||
566. Чему равно среднее значение проекции спина на ось |
|||||||
стоянии |
1 |
|
|
|
|
|
|
ψ(sz ) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
А. sy = −1/ 4 Б. sy =1/ 4 В. sy =1/ 3 |
Г. sy = 0 |
|
|||||
567. В результате действия на спиновую волновую функцию
1
ψ(sz ) = 2 оператора sˆx получится следующая спиновая волно-
вая функция |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
А. ψ(sz ) = |
|
|
Б. ψ(sz ) = |
|
|
1/ 2 |
|
1/ 4 |
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
В. ψ(sz ) = |
|
Г. ψ(sz ) = |
|
||
|
2 |
|
|
4 |
|
568. В результате |
действия на спиновую |
волновую функцию |
|||
1
ψ(sz ) = 2 оператора sˆy получится следующая спиновая волно-
вая функция:
А. ψ(sz )
Г. ψ(sz )
−i
=i / 2i / 2
=−i
|
i |
|
|
−i / 2 |
|
Б. ψ(sz ) = |
−i / 2 |
|
В. ψ(sz ) = |
i |
|
|
|
|
|
||
569. Спин частицы равен ½. Какая матрица отвечает оператору sˆxsˆy + sˆy sˆx ?
128
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
i 0 |
|
|||||
А. |
0 |
1 |
|
Б. |
0 |
0 |
|
В. |
|
Г. |
0 i |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||
570. Какое утверждение относительно свойств оператора sˆx sˆy яв-
ляется верным? |
|
А. он неэрмитов |
Б. он унитарен |
В. он совпадает со своим обратным |
Г. он нелинеен |
1
571. Спиновая функция частицы имеет вид ψ(sz ) = 0 . Будет ли
это состояние стационарным? А. да Б. нет
В. мало информации, чтобы ответить
Г. зависит от того, коммутирует ли оператор sˆy с оператором Га-
мильтона или нет 572. Частица имеет спин ½. Гамильтониан частицы не зависит от
спиновых переменных. Оператор какого вида отвечает гамильтониану?
ˆ |
ˆ |
|
1 |
0 |
ˆ |
ˆ |
1 |
1 |
А. H (r, sz ) = h(r ) |
0 |
|
Б. H (r, sz ) = h(r ) |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
ˆ |
ˆ |
|
1 |
0 |
ˆ |
ˆ |
0 1 |
|
В. H (r, sz ) = h(r ) |
0 |
|
Г. H (r, sz ) = h(r ) |
|
||||
|
|
|
−1 |
|
|
1 0 |
||
ˆ действует на пространственные переменные) (где оператор h(r )
573. Частица имеет спин ½. Гамильтониан частицы не зависит от спиновых переменных. Какой функцией описывается спиновая часть собственных функций гамильтониана?
1 |
|
0 |
|
В. никакой из них |
||
А. только |
0 |
|
Б. только |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. любой линейной комбинацией функций А и Б
129
ГЛАВА 6. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
574. Квазиклассическое приближение – это А. метод перехода от квантовой механики к механике классической
Б. приближение, в котором оператор импульса заменяется на импульс В. метод приближенного решения стационарного уравнения Шре-
дингера, основанный на «плавности» потенциала как функции координаты Г. метод приближенного решения временного уравнения Шредин-
гера, основанный на «плавности» волновой функции системы как функции времени
575.Чтобы квазиклассическое приближение работало, нужно что-
бы А. потенциальная энергия была резкой функцией координаты
Б. потенциальная энергия была плавной функцией координаты В. потенциальная энергия была большой Г. потенциальная энергия была маленькой
576.Какой из нижеследующих формул определяется параметр ква-
зиклассичности? ( k(x) = |
|
2m(E −U (x))/ |
|
2 , m – масса частицы) |
||||||||||||||||
|
k′(x) |
|
Б. |
|
k2 (x) |
|
В. |
|
k′(x) |
|
Г. |
|
k3 (x) |
|
|
|
||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k |
2 |
(x) |
′ |
k |
3 |
(x) |
′ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k (x) |
|
|
|
|
|
|
|
k (x) |
|
|
|||||
577. Какова размерность
| k′(x) / k 2 (x) | ?
А. длина Б. длина1
Г. безразмерный
578. График зависимости потенциальной энергии от координаты приведен на рисунке. В какой
точке – x1 или x2 – лучше рабо-
тает квазиклассическое приближение?
А. в точке x1
параметра квазиклассичности
1
В. длина2
U (x)
x1 x2
x
130