Ивлиев Сборник тестовых задач по квантовой 2008
.pdfВ. во 2-е возбужденное Г. ни в какие 800. На одномерный гармонический осциллятор с частотой ω , на-
ходящийся в основном состоянии, действует малое возмущение
ˆ |
ˆ |
ˆ |
V |
(x,t) =αV (x) cos(ωt / 2) , где оператор |
V (x) имеет ненулевые |
матричные элементы для всех состояний осциллятора, а частота возмущения вдвое меньше частоты осциллятора. Как вероятность перехода в первое возбужденное состояние зависит от α ?
А. как α2 Б. как α4 В. как α6 Г. как α8 801. На заряженный трехмерный гармонический осциллятор с час-
тотой ω , находящийся в основном состоянии, действует малое однородное периодическое электрическое поле E(t) = E0 cosωt .
Частота поля равна частоте осциллятора. В какие состояния осциллятор будет совершать переходы? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
А. в первое возбужденное |
Б. во второе возбужденное |
В. в третье возбужденное |
Г. ни в какие |
802. На трехмерный гармонический осциллятор с частотой ω , находящийся в основном состоянии, действует малое возмущение
ˆ |
ˆ |
ˆ |
V |
(r,t) =V |
(r) cosωt , где оператор V (r) зависит только от модуля |
радиус-вектора, а частота возмущения равна частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершить переход в первое возбужденное состояние? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
Указание: кратность вырождения первого возбужденного состояния трехмерного гармонического осциллятора равна 3.
А. да |
Б. нет |
ˆ |
В. зависит от оператора V (r) |
Г. это зависит от массы осциллятора 803. На трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в
основном состоянии, действует малое возмущение
ˆ |
f (r) – функция от модуля радиус- |
V (r,t) =α f (r) cosωt , где |
вектора, а частота возмущения равна частоте осциллятора. Как вероятность перехода осциллятора зависит от α ?
191
Указание: кратность вырождения N -го уровня трехмерного гармонического осциллятора равна (N +1)(N + 2) / 2 (основному со-
стоянию отвечает N = 0 ). |
|
|
|
А. как α |
Б. как α2 |
В. как α3 |
Г. как α4 |
804. На трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в
основном |
состоянии, |
действует |
малое |
возмущение |
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
зависит только от моду- |
|
V |
(r,t) =V |
(r) cos 2ωt , где оператор V (r) |
|||
ля радиус-вектора, а частота возмущения равна удвоенной частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершить переход во второе возбужденное состояние? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
Указание: кратность вырождения второго возбужденного состояния трехмерного гармонического осциллятора равна 6.
А. да |
Б. нет |
ˆ |
В. это зависит от оператора V (r) |
Г. это зависит от массы осциллятора 805. На трехмерный гармонический осциллятор с частотой ω , на-
ходящийся в основном состоянии, действует малое возмущение
ˆ |
(ϑ,ϕ) cosω0t , где |
Y20 |
– соответствующая сфериче- |
V (r, t) =αY20 |
ская функция. При какой минимальной частоте возмущения ω0
осциллятор может совершить переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
Указание: кратность вырождения N -го уровня трехмерного гармонического осциллятора равна (N +1)(N + 2) / 2 (основному со-
стоянию отвечает N = 0 ).
А. ω0 =ω Б. ω0 =ω / 2
Г. ни при какой 806. На атом водорода, находящийся в основном состоянии дейст-
вует малое возмущение ˆ =α 10 ϑ ϕ ω , где Y10 – сфе- t
V (r,t) Y ( , ) cos
рическая функция. При какой минимальной частоте возмущения возможен переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
Указание: кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме равна n2 , энергии уровней – En = −e2 / 2an2 , n =1, 2,...
192
А. ω = |
e2 |
Б. ω = |
2e2 |
В. ω = |
3e2 |
Г. ω = |
4e2 |
|
8a |
8a |
8a |
8a |
|||||
|
|
|
|
(здесь e – заряд электрона, a – боровский радиус).
807. На атом водорода, находящийся в n -ом квантовом состоянии
(основное состояние – первое) |
действует малое возмущение |
||
ˆ |
(ϑ,ϕ) cosωt , где |
Y10 |
– сферическая функция. При |
V (r,t) =αY10 |
|||
какой минимальной частоте возмущения возможен переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
А. |
e2 |
|
1 |
− |
|
1 |
|
|
Б. |
e2 |
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2a |
|
(n +1)2 |
2a |
n +1 |
|||||||||||||||||
|
|
n2 |
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
В. |
|
e2 |
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
Г. |
e2 |
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2a |
|
(n |
−1)2 |
n2 |
2a |
|
−1 |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
(здесь e – заряд электрона, a – боровский радиус).
808. На атом водорода, находящийся в основном состоянии дейст-
ˆ |
(ϑ,ϕ) cosωt , где Y20 |
– сфе- |
вует малое возмущение V (r,t) =αY20 |
рическая функция. При какой минимальной частоте возмущения возможен переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
Указание: кратность вырождения уровней энергии электрона в
атоме равна n2 , энергии – En |
= −e2 / 2an2 , n =1, 2,... |
|
|
|||||
А. ω = |
8e2 |
Б. ω = |
9e2 |
В. ω = |
10e2 |
Г. ω = |
11e2 |
|
18a |
18a |
18a |
18a |
|||||
|
|
|
|
|||||
(здесь e – заряд электрона, a – боровский радиус).
809. На квантовую систему внезапно накладывают возмущение. Какие из нижеперечисленных величин не успеют измениться за время «включения» возмущения?
А. гамильтониан Б. волновая функция
В. спектр собственных значений энергии Г. средняя энергия системы
193
810. На одномерную квантовую систему с гамильтонианом ˆ
H0
внезапно накладывают возмущение ˆ . Какой формулой описы-
V (x)
ваются вероятности переходов из n -го состояния в k -е?
А. wn→k = |
|
* |
ˆ |
(x)dx |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ϕn |
(x)V (x)ϕk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Б. wn→k = |
|
* |
ˆ |
(x)dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∫ψn |
(x)V (x)ψk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В. wn→k = |
|
* |
ˆ |
(x)dx |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫ϕn |
(x)V (x)ψk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Г. wn→k = |
|
∫ϕn* (x)ψk (x)dx |
|
2 , |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ϕ и ψ – собственные функции гамильтонианов H0 |
и H0 |
+V |
||||||||||||||||
соответственно.
811. Частица находится в основном состоянии в некотором одномерном потенциале, являющимся четной функцией координаты. Внезапно потенциал изменяется, но остается четной функцией координаты. Какова вероятность того, что частица окажется в первом возбужденном состоянии?
А. w =1/ 2 Б. w = 0 В. w =1/ 4 Г. w = 3 / 4
812. Осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная частота ω мгновенно меняется до
некоторого значения ω1 . Вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние равна
А. w =1/ 2 Б. w = 0 |
В. w = |
|
ω −ω1 |
|
Г. w = |
ω −ω1 |
|
|
|||||
|
ω |
|
ω +ω |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
813. Одномерный осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная частота ω мгновенно
меняется до некоторого значения ω1 . В какие состояния осциллятор будет совершать при этом переходы?
А. во все четные |
Б. во все нечетные |
В. во все |
Г. ни в какие |
(основное состояние – нулевое).
814. Одномерный осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осциллятор перемещается на некоторое
194
малое расстояние l . Сможет ли осциллятор совершить при этом переход в первое возбужденное состояние?
А. да Б. нет В. это зависит от l Г. это зависит от того, заряжен осциллятор или нет 815. Трехмерный осциллятор находится в основном состоянии. В
некоторый момент времени осцилляторная частота ω мгновенно меняется до некоторого значения ω1 . Возможен ли переход осцил-
лятора на первый возбужденный уровень энергии?
Указание: кратность вырождения первого возбужденного уровня
трехмерного осциллятора – 3. |
|
А. да |
Б. нет |
В. если ω1 >ω , то да |
Г. если ω1 <ω , то да |
816. Трехмерный осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная частота ω мгновенно
меняется до некоторого значения ω1 . Возможен ли переход осцил-
лятора в состояние с моментом |
l = 2 ? |
А. да |
Б. нет |
В. если ω1 >ω , то да |
Г. если ω1 <ω , то да |
817. Трехмерный осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная частота ω мгновенно
меняется до некоторого значения ω1 . Возможен ли переход осцил-
лятора на второй возбужденный уровень энергии?
Указание: кратность вырождения первого возбужденного уровня
трехмерного осциллятора – 6. |
|
А. да |
Б. нет |
В. если ω1 >ω , то да |
Г. если ω1 <ω , то да |
818. Трехмерный осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Внезапно на осциллятор накладывается возмущение, зависящее только от модуля радиуса-вектора. Может ли осциллятор совершить переход в основное состояние?
Указание: кратность вырождения первого возбужденного уровня трехмерного осциллятора – 3.
А. да Б. нет
В. это зависит от величины возмущения
195
Г. мало информации для ответа
819.Трехмерный осциллятор находится на втором возбужденном уровне энергии. Внезапно на осциллятор накладывается возмущение, зависящее только от модуля радиуса-вектора. Может ли осциллятор совершить переход в основное состояние?
Указание: кратность вырождения второго возбужденного уровня трехмерного осциллятора – 6.
А. да Б. нет
В. это зависит от величины возмущения Г. мало информации для ответа
820.Незаряженная частица со спином s =1/ 2 , имеющая магнитный момент, находится в стационарном состоянии некоторого га-
мильтониана с определенной проекцией спина на ось z : sz =1/ 2 .
Внезапно включается магнитное поле, направленное вдоль оси |
x . |
|
С какой вероятностью при измерении проекции спина на ось |
z |
|
сразу после этого будет обнаружено значение sz = −1/ 2 ? |
|
|
А. w =1/ 2 |
Б. w =1 |
|
В. w =1/ 4 |
Г. w = 0 |
|
821. Незаряженная частица со спином s =1/ 2 , имеющая магнитный момент, находится в стационарном состоянии некоторого га-
мильтониана с определенной проекцией спина на ось z : sz =1/ 2 .
Внезапно включается магнитное поле, направленное вдоль оси |
x . |
||
Сразу после этого измеряют проекцию спина частицы на ось |
x . |
||
Какие значения будут обнаружены и с какими вероятностями? |
|
||
А. только sx |
=1/ 2 |
|
|
Б. только sx |
= −1/ 2 |
|
|
В. |
sx =1/ 2 |
и sx = −1/ 2 с вероятностями w =1/ 2 |
|
Г. |
sx =1/ 2 |
с вероятностью w = 3 / 4 и sx = −1/ 2 с вероятностью |
|
w =1/ 4
822. Электрон в атоме водорода находится на первом возбужденном уровне энергии в состоянии с неопределенным моментом. Внезапно на атом накладывается возмущение, оператор которого
196
зависит только от модуля радиуса-вектора. Может ли электрон совершить переход в основное состояние?
А. да Б. нет
В. это зависит от возмущения Г. это зависит от проекции момента электрона в начальном состоянии
823.Электрон в атоме водорода находится на втором возбужденном уровне энергии в состоянии с моментом l = 2 . Внезапно на атом накладывается возмущение, оператор которого зависит только от модуля радиуса-вектора. Может ли электрон совершить переход в первое возбужденное состояние?
А. да Б. нет
В. зависит от возмущения Г. момент импульса электрона на втором возбужденном уровне энергии не может равняться 2
824.Электрон в атоме водорода находится на первом возбужден-
ном уровне энергии в состоянии с моментом l = 2 . Внезапно на атом накладывается возмущение, оператор которого зависит только от модуля радиуса-вектора. Может ли электрон совершить переход во второе возбужденное состояние?
А. да Б. нет
В. это зависит от возмущения Г. момент импульса электрона на первом возбужденном уровне энергии не может равняться 2
825. Электрон в водородоподобном ионе находится в основном состоянии. Внезапно заряд ядра изменяется на единицу (это происхо-
дит при β -распаде ядер). Может ли электрон оказаться на первом
возбужденном уровне энергии иона? А. да Б. нет
В. это зависит от того, увеличивается или уменьшается заряд ядра Г. да, если в результате этого процесса получится незаряженный атом водорода
197
826. Электрон в водородоподобном ионе находится в основном состоянии. Внезапно заряд ядра изменяется на единицу (это происхо-
дит при β -распаде ядер). Может ли электрон перейти при этом в p -состояние?
А. да Б. нет
В. это зависит от того, увеличивается или уменьшается заряд ядра Г. да, если в результате этого процесса получится незаряженный атом водорода 827. Электрон в водородоподобном ионе находится в основном со-
стоянии. Внезапно заряд ядра изменяется на единицу (это происходит при β -распаде ядер). Может ли электрон перейти при этом в
третье s -состояние? А. да Б. нет
В. это зависит от того, увеличивается или уменьшается заряд ядра Г. да, если в результате этого процесса получится незаряженный атом водорода
198
ГЛАВА 9. СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
9.1. Перестановочная симметрия волновой функции систем тождественных частиц
828. Выберите правильное утверждение А. фермионы – это частицы с четным спином Б. бозоны имеют полуцелый спин В. спин всех бозонов равен 21
Г. если частица имеет спин, равный 1/2, то это фермион 829. Выберите правильное утверждение А. фермионы – это частицы с целым спином Б. бозоны – это частицы с нечетным спином
В. фермионы – это частицы с полуцелым спином Г. бозоны – это частицы с четным спином
830. Частица имеет спин s = 3 / 4 . Какое утверждение относительно свойств этой частицы справедливо?
А. эта частица – фермион Б. эта частица – бозон
В. эта частица – суперпозиция состояний бозона со спином s =1 и фермиона со спином s =1/ 2
Г. спин такого значения принимать не может 831. Волновая функция системы тождественных фермионов
А. симметрична относительно перестановок аргументов, относящихся к разным частицам Б. антисимметрична относительно перестановок аргументов, относящихся к разным частицам
В. симметрична относительно замены ri → −ri
Г. антисимметрична относительно замены ri → −ri
832. Волновая функция системы тождественных бозонов А. симметрична относительно перестановок аргументов, относящихся к разным частицам
Б. антисимметрична относительно перестановок аргументов, относящихся к разным частицам
1 Вэтой главе =1 .
199
В. симметрична относительно замены ri → −ri
Г. антисимметрична относительно замены ri → −ri
833.Что значит, что волновая функция двух тождественных бозонов симметрична относительно перестановок?
А. при перестановке значений, которые принимают пространственные и спиновые координаты первой и второй частицы, функция не меняется Б. при перестановке значений, которые принимают только про-
странственные координаты первой и второй частицы, функция не меняется В. при перестановке значений, которые принимают только спино-
вые координаты первой и второй частицы, функция не меняется Г. является сферически симметричной
834.Что значит, что волновая функция двух тождественных фермионов антисимметрична относительно перестановок?
А. при перестановке значений, которые принимают пространственные и спиновые координаты первой и второй частицы, функция меняет знак Б. при перестановке значений, которые принимают только про-
странственные координаты первой и второй частицы, функция меняет знак В. при перестановке значений, которые принимают только спино-
вые координаты первой и второй частицы, функция не меняется Г. является нечетной
835.Что такое определитель Слэттера?
А. это определитель секулярного уравнения Б. волновая функция тождественных бозонов
В. волновая функция тождественных фермионов Г. определитель матриц Паули
836. Какая из нижеследующих формул представляет собой определитель Слэттера для системы двух тождественных невзаимодействующих фермионов, один из которых находится в одночастичном
состоянии ϕ1 , второй – в одночастичном состоянии ϕ2 ?
А. |
1 |
|
ϕ1 (r1 ) ϕ1 (r2 ) |
|
Б. |
1 |
|
ϕ1 (r1) ϕ2 (r2 ) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
ϕ1 (r1 ) |
ϕ1 (r2 ) |
|
2 |
|
|
ϕ1 (r1) |
ϕ2 (r2 ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|