Алгебра 3 семестр Лекцииi

f (x ) = (x2 +1)2 приводим в кольце ¡[x] , но действительных корней не имеет.

Каноническое разложение на неприводимые сомножители многочлена положительной степени будет иметь вид

неприводимые многочлены. Эти сомножители определяются с точностью до числового сомножителя. В случае многочленов разложение можно упростить. Для этого вынесем старшие коэффициенты всех многочленов p1 (x ), p2 (x ),..., ps (x ) и

запишем их в начале разложения в виде общего сомножителя A . В результате получится следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Всякий многочлен положительной степени f P [x] представим в виде

представление единственно с точностью до порядка сомножителей. Это представление и будем называть

каноническим.

Чтобы различать случаи разных степеней ki , вводится понятие кратности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неприводимый многочлен p (x )

называется неприводимым множителем кратности k > 0

многочлена f (x ) , если

f (x )Mpk (x ) и f (x ) Mpk +1 (x) .

81

Кратность – это степень, в которой неприводимый

многочлен входит в каноническое разложение данного многочлена. Будем считать, что кратность равна нулю, если

неприводимый многочлен не входит в каноническое разложение. Неприводимый многочлен называют кратным множителем данного многочлена, если его кратность ³ 2 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первые условия предложения 1 и определения равносильны по определению делимости.

Докажем равносильность вторых условий при условии выполнимости первых.

Пусть f (x ) Mpk +1 (x) , но, напротив, h (x )Mp (x ) . Тогда

h (x ) = p (x )q (x ) Þ f (x ) = pk (x )h (x ) = pk +1 (x )q (x ) Þ

Þ f (x )M pk +1 (x ) .

Противоречие.

Пусть h (x ) Mp (x ) , но, напротив, f (x )M pk +1 (x ) . Тогда f (x ) = pk +1 (x )q (x ) = pk (x)h (x ) Þ (сокращаем на pk (x ) )

Þ p (x )q (x ) = h (x ) Þ h (x )M p (x ) .

Противоречие.

ПРИМЕР. Найти кратность неприводимого множителя x2 + x + 1 в разложении многочлена

f (x ) = 2x5 + 7x4 +12x3 + 13x2 + 8x + 3 .

82

Согласно предложению 1, достаточно делить данный многочлен, а затем получаемые частные, на (x2 + x +1) до тех

пор, пока делится. Посчитав, сколько раз удалось разделить без остатка, мы определим искомую кратность.

−5x4 +10x3 +13x2 + 8x + 3 5x4 + 5x3 + 5x2

−5x3 + 8x2 + 8x + 3 5x3 + 5x2 + 5x

−3x2 + 3x + 3

3x2 + 3x + 3

0

−3x2 + 3x + 3

3x2 + 3x + 3

0

первую степень. В этом случае элемент c P является корнем многочлена, и, поэтому, говорят о кратности корня.

83

84

В четвёртом делении получился ненулевой остаток, следовательно, кратность равна трём. Запишем результаты всех делений.

f (x ) = 3x4 -11x3 +15x2 - 9x + 2 = (x -1)(3x3 - 8x2 + 7x - 2),

3x3 - 8x2 + 7x - 2 = (x -1)(3x2 - 5x + 2) ,

3x2 - 5x + 2 = (x -1)(3x - 2) .

Окончательное разложение имеет вид

f (x ) = (x − 1)3 (3x − 2) .

Для определения кратности может использоваться производная. Дадим алгебраическое определение производной, в котором не участвует понятие предела, т.к. предел в данном поле может быть не определён.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной многочлена

f (x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0 Î P [x]

называется многочлен

f¢ (x ) = nan xn −1 + (n -1)an −1xn −2 + K + a2x + a1 Î P [x] .

Вданной записи n используется для обозначения

элемента

n = 1+424431 + K +1Î P .

n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле P называется полем характеристики нуль, если для любого натурального n

элемент 1+424431 + K +1 ¹ 0 .

n

85

ТЕОРЕМА (свойства производной). Для любых многочленов f , g Î P [x] и для любого a P выполняются следующие свойства.

1)( f + g )¢ = f ¢ + g¢ ,

2)( f g)¢ = f ¢g + f g¢ ,

3)(af )¢ = af ¢ ,

4)(f m )¢ = mf m −1 f ¢ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО может быть проведено непосредственно по определению. В случае, когда P – поле действительных чисел, можно сослаться на общие свойства из курса анализа.

ТЕОРЕМА (о кратности неприводимых множителей). Если

P – это поле характеристики нуль и p (x ) – неприводимый множитель кратности k ³ 1 ненулевого многочлена f (x ) Î P [x] , то p (x ) – неприводимый множитель кратности

(k -1) производной f ¢ (x ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию

f (x ) = pk (x )h (x ) и h (x ) Mp (x ) .

Пользуясь свойствами производной, получаем:

f ¢ (x ) = kpk −1 (x ) p¢(x )h (x ) + pk (x )h¢ (x ) =

Пусть, напротив, частное делится на p (x ) .

éëkp¢(x)h (x ) + p (x )h¢(x )ùûMp (x ) Þ

86

(простых) элементов, один из сомножителей должен делиться на p (x ) . Однако p¢ (x ) не может делиться на p (x ) , т.к. его

степень на единицу меньше, а h (x) не может делиться на p (x ) , т.к. это не так по условию. Противоречие.

В результате частное не может делиться на p (x ) , оба условия предложения 1 проверены и теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 1 (признак существования кратных множителей). Многочлен f (x ) имеет кратные (кратности

³ 2 ) неприводимые множители тогда и только тогда, когда HOД ( f , f ¢) имеет положительную степень.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если кратность всех неприводимых множителей канонического разложения f (x ) равна 1, то они

не будут входить в разложение многочлена f ¢ (x ) (их кратность у производной равна 0) и HOД ( f , f ¢) будет равен

1.

В обратную сторону. Если имеет

положительную степень, то он имеет неприводимые множители, которые будут неприводимыми множителями многочленов f (x ) и f ¢ (x ) одновременно. У многочлена f ¢ (x )

они будут иметь кратность ³ 1, а у многочлена f (x ) , согласно теореме, кратность ³ 2 .

СЛЕДСТВИЕ 2. Элемент c P будет корнем кратности k ³ 1 многочлена f (x ) тогда и только тогда, когда

87

f (c ) = 0, f ¢ (c ) = 0, f ¢¢ (c ) = 0, K, f (k −1) (c ) = 0, f (k ) (c ) ¹ 0 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть c P – корень кратности k ³ 1 многочлена f (x ) , тогда по предложению 2 имеем

f (x ) = (x - c )k h (x ) и h (c ) ¹ 0 .

Все производные многочлена f (x ) , начиная с нулевой и кончая производной (k -1) -го порядка, содержат в качестве сомножителя (x - c ) . Поэтому

f (c ) = 0, f ¢ (c ) = 0, f ¢¢ (c ) = 0, K, f (k −1) (c ) = 0 .

Производная k -го порядка в точке c равна

f (k ) (c ) = k !× h (c ) ¹ 0 .

ОБРАТНО. Многочлен (x - c ) будет неприводимым

множителем многочленов f (x ), f ¢(x ),K, f (k −1) (x ) . По предложению 2 он будет множителем кратности 1 многочлена f (k −1) (x ) . После этого (k -1) раз применяем теорему:

(x - c ) множитель кратности 2 многочлена f (k −2) (x ) ;

(x - c ) множитель кратности 3 многочлена f (k −3) (x ) ;

(x - c ) множитель кратности k многочлена f (k −k ) (x ) = f (x ) .

ПРИМЕР. Определить кратность корня c = 1 многочлена f (x ) = 3x4 -11x3 +15x2 - 9x + 2 (см. пример выше).

Действуем согласно следствию 2.

88

f (1) = 3 -11 +15 - 9 + 2 = 0 ;

f ¢ (x ) = 12x3 - 33x2 + 30x - 9, f ¢(1) = 12 - 33 + 30 - 9 = 0 ;

f ¢¢(x ) = 36x2 - 66x + 30, f ¢¢ (1) = 36 - 66 + 30 = 0 ;

f ¢¢¢(x ) = 72x - 66, f ¢¢¢(1) = 72 - 66 = 6 ¹ 0 .

Кратность корня c = 1 равна 3.

89

ТЕМА 4. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Кольцо многочленов от нескольких переменных

Многочлены от нескольких переменных возникают примерно так же, как многочлены от одного переменного. Фиксируется некоторое коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей K (кольцо коэффициентов), набор переменных x1, x2, x3,K, xk . Из переменных и

коэффициентов при помощи умножения можно составлять выражения, причём сомножители разрешается переставлять, а одинаковые сомножители сворачивать в степень. В

результате получатся одночлены от данного множества переменных.

равен нулю и его степень не определяется.

При помощи сложения из одночленов можно составлять суммы, причём слагаемые разрешается переставлять местами и можно "приводить подобные", т.е. пользоваться

равенствами вида

Ax1α1 x2α2 ×K× xkαk + Bx1α1 xα22 ×K× xkαk = (A + B ) x1α1x2α2 ×K× xkαk .

В результате получатся многочлены от данного множества переменных.

90