Алгебра 3 семестр Лекцииi

SM . Группа будет называться группой подстановок, если она является подгруппой некоторой симметрической группы.

Оказывается этот тип групп является в некотором смысле универсальным.

ТЕОРЕМА (Кэли). Всякая группа G изоморфна некоторой

ta (x ) = x a . Докажем, что ta является взаимно однозначным отображением G на G .

y ÎG существует x ÎG такой, что ta (x ) = y .

Действительно, если взять x = ya−1 , то

ta (x ) = ta (ya−1 ) = ya−1a = y .

Таким образом получилось, что ta (x ) – это подстановка множества G . Определим отображение f :G ® SG по правилу f (a) = ta и докажем, что оно является изоморфизмом G и

f(G ) .

3)Докажем сначала, что f (G ) является подгруппой в

SG .

31

Для этого достаточно проверить условия критерия подгруппы. Если ta , tb Î f (G ) , то, по определению умножения подстановок,

(ta ×tb )(x ) = tb (ta (x )) = tb (xa ) = (xa )b = x (ab) = tab (x ) Î f (G ) .

транспозицией называется такое преобразование этой перестановки, при котором два элемента i и j меняются местами, а остальные элементы оставляются на месте. Коротко такое преобразование можно записать так: i « j .

32

которая отображает i в j , j в i , а остальные элементы оставляет неизменными, также называется транспозицией. Коротко её обозначают как (i j ) . Она получается из тождественной подстановки при помощи транспозиции i « j в нижней строке.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Применение транспозиции i « j к

нижней строке подстановки равносильно умножению этой

2) Всякая подстановка раскладывается в произведение транспозиций.

Действительно, каждая подстановка α может быть

получена из любой подстановки при помощи транспозиций в нижней строке. Рассмотрим случай, когда α получена из тождественной подстановки. Согласно замечанию 1) тогда

α = e × (i1 j1 ) × (i 2 j 2 ) ×...× (i k j k ) = (i1 j1 ) × (i 2 j 2 ) ×...× (i k j k ) .

3) Разложение подстановки в произведение транспозиций не является единственным, т.к., например,

(i j ) = (i j ) × (i j ) × ( j i ) .

4) Четность подстановки α = (i1 j1) × (i 2 j 2 ) × ... × (ik j k )

совпадает с чётностью числа k .

Действительно, тождественная подстановка является чётной и, как известно, при применении транспозиции чётность подстановки меняется на противоположную. Если чётность меняется k раз, то при при чётном k мы получим снова чётную подстановку, а при нечётном – нечётную.

33

Это замечание даёт новый способ вычисления чётности подстановок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Всякая подстановка некоторые элементы множества {1,2,...,n} перемещает, а некоторые элементы –

оставляет на месте. Циклом или циклической подстановкой

длины k называют такую подстановку, в которой действительно перемещаемые элементы i1,i2,...,ik перемещаются следующим образом:

i1 ® i2 ® i3 ® ...® ik ® i1 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Циклы называются независимыми, если они не имеют общих действительно перемещаемых символов.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Произведение попарно независимых циклов коммутативно, т.е. не зависит от порядка сомножителей.

2) Всякая подстановка раскладывается в произведение независимых циклов, причём единственным образом.

Алгоритм разложения достаточно простой: нужно взять

любой из действительно перемещаемых символов и променять к нему подстановку до тех пор, пока он снова не получится. Это обязательно случится, т.к. подстановка является взаимно однозначным отображением. В результате выделится один цикл. Затем процедура повторяется с действительно перемещаемыми символами, которые не вошли в этот цикл. И так до тех пор, пока не будут исчерпаны все перемещаемые символы.

ПРИМЕР. Разложить в произведение независимых циклов подстановку

34

Рассмотрим ещё один типичный случай групп. Пусть G

– некоторая группа, e ÎG – её единичный элемент и a ÎG . Рассмотрим последовательность степеней элемента a :

Возможны следующие два случая.

1)Существуют n ¹ m такие, что an = am .

2)Все элементы последовательности (1) попарно различны.

35

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком элемента a ÎG называется наименьшее отличное от нуля натуральное число k , для

которого ak = e . Если такого числа не существует, то говорят,

что a является элементом бесконечного порядка.

Порядок элемента a ÎG обозначается через O (a ) .

СВОЙСТВА (порядков). Пусть k = O (a ) .

1)Равенство am = e выполняется тогда и только тогда, когда mMk .

2)Равенство an = am выполняется тогда и только тогда, когда (n - m)Mk .

3) Элементы a0 = e, a1, a2, a3, K, ak −1 попарно различны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Разделим m с остатком на k :

m = kq + r, 0 £ r < k .

Если r ¹ 0 , то

e = am = akq +r = (ak )q ar = (e)q ar = ar .

Таким образом получилось, что ar = e , r < k , что противоречит определению порядка. Поэтому r = 0 и m = kq .

36

a0 = e, a−n = (a−1 )n .

Множество степеней некоторого элемента a ÎG, a ¹ e , замкнуто относительно умножения и взятия обратного, поэтому образует подгруппу в G . Такая подгруппа называется циклической. Можно рассматривать циклические группы отдельно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа G называется циклической, если её основное множество состоит из степеней какого-то одного элемента a . Этот элемент называется образующим элементом группы. Говорят, что он порождает группу G и

пишут G = gr (a ) . Количество элементов в группе называется её порядком.

Если рассматривается аддитивная форма записи, то

вместо степеней рассматриваются элементы вида

a1442443+ a + K + a = n a .

n

ПРИМЕРЫ. 1) Множество комплексных корней степени n

из единицы относительно операции умножения образуют циклическую группу порядка n . В качестве образующего

элемента можно взять

u1 = cos 2nπ + sin 2nπ .

Действительно,

2) Множество целых чисел с операцией сложения образуют бесконечную циклическую группу. Образующим

37

элементом является единица, т.к. для любого n ¢

выполняется

n = ± (1 +1 + K +1) .

1442443

n

ТЕОРЕМА (свойства циклических групп).

1)Все циклические группы коммутативны.

2)Циклические группы одного порядка изоморфны между собой.

3)Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической.

любого целого числа m мы можем вычислить степень am по следующему правилу. Делим m на n с остатком и вычисляем am :

m = nq + r, 0 £ r < n ,

am = anq +r = (an )q ar = (e)q ar = ar , 0 £ r < n .

После этого можно задать отображение f :G ® D по

правилу

f (am ) = bm .

38

Оно будет взаимно однозначным отображением G на D , т.к., во-первых, эти группы имеют одинаковое количество элементов. И, во-вторых, по свойству порядка элементы e, a,a1, a2,K, an −1 попарно различны и элементы

e, b, b1, b2,K, bn −1 также попарно различны.

Кроме того выполняется характеристическое свойство изоморфизма

f (am ×ak ) = f (am +k ) = bm +k = bm ×bk = f (am )× f (ak ) .

Для групп бесконечного порядка доказательство

какую-нибудь неединичную степень am ¹ e . Можно считать,

Теорема доказана.

39

Рассмотрим ещё один способ получения новых групп – построение фактор-группы. Пусть даны группа G и её подгруппа H . Рассмотрим подмножества вида

gH = {gh h H} G ,

которые называются (левыми) смежными классами группы G по подгруппе H . Аналогично можно рассматривать правые смежные классы Hg . Для определённости мы будем

рассматривать только левые смежные классы.

ТЕОРЕМА (свойства смежных классов). 1) Смежные

классы по любой подгруппе образуют разбиение множества

G .

2)Отношение эквивалентности :H , которое

определяется этим разбиением, может быть задано так: a :H b a−1b H .

3) Все смежные классы по данной конечной подгруппе имеют одинаковое количество элементов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Докажем, что если два смежных класса пересекаются, то они полностью совпадают.

g1H g2H .

Докажем, что объединение смежных классов даёт всё множество G :

40