Алгебра 3 семестр Лекцииi

ТЕОРЕМА (основная теорема о симметрических многочленах). Всякий ненулевой симметрический многочлен

представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f (x1, x2,K, xk ) – ненулевой симметрический многочлен. Найдём его старший одночлен u и составим по лемме 2 произведение Õ1 элементарных

симметрических многочленов с таким же старшим одночленом. Если взять их разность f1 = f - Õ1 , то старшие

одночлены сократятся и, следовательно, f ? f1 .

Если f1 ¹ 0 , то процедуру повторяем: находим старший одночлен f1 , по нему составляем произведение Õ2 , берём

разность f2 = f1 - Õ2 = f - Õ1 - Õ2 и получаем, что f1 ? f2 . Далее поступаем аналогично.

В результате получится убывающая цепочка симметрических многочленов

f ? f1 ? f2 ? f3 ?K.

По лемме 3 эта цепочка не может быть бесконечной. С другой стороны, данный процесс оборвётся только в том случае, если на каком-то i -том шаге получится нулевой многочлен: fi = 0 . В результате

fi = f - Õ1 - Õ2 -K - Õi = 0 Þ f = Õ1 + Õ2 +K+ Õi .

Теорема доказана.

101

ПРИМЕР. Выразить через элементарные симметрические многочлены многочлен f (x1, x2, x3 ) = x12x22 + x12x32 + x22x32 .

Согласно лемме 2 такой же старший одночлен будет у произведения ∏1 = σ12−2σ22−0σ30 = σ22 . Вычисляем разность

f1 = f − ∏1 = (x12x22 + x12x32 + x22x32 ) − (x1x2 + x1x3 + x2x3 )2 =

= −2x12x2x3 − 2x1x22x3 − 2x1x2x32 .

Старший его одночлен равен −2x12x2x3 .

∏2 = −2σ12−1σ12−1σ13 = −2σ1σ3 .

f2 = f1 − ∏2 = (−2x12x2x3 − 2x1x22x3 − 2x1x2x32 ) +

+2(x1 + x2 + x3 )(x1x2x3 ) = 0 .

В результате

f (x1, x2, x3 ) = ∏1 + ∏2 = σ22 − 2σ1σ3 .

Недостаток данного метода состоит в том, что

вычисление стандартной формы соответствующего произведения элементарных симметрических многочленов может оказаться весьма громоздким. Эту же задачу можно

решать методом неопределённых коэффициентов по следующему плану.

1)Для данного многочлена выписать не отдельные, а все возможные старшие одночлены.

2)Для всех этих одночленов составить согласно лемме 2 соответствующие произведения.

3)Согласно теореме, исходный многочлен будет

представим в виде суммы этих произведений с некоторыми

102

неопределёнными коэффициентами. Записать такое представление.

4) Найти неопределённые коэффициенты, подставляя вместо переменных конкретные числа (элементы поля P ).

ПРИМЕР. Выразить через элементарные симметрические

пример выше).

Данный многочлен является однородным многочленом степени 4. Согласно лемме 1 возможные старшие одночлены степени 4 от переменных x1, x2, x3 определяются условиями:

Ax1α1 x2α2 x3α3 , α1 ³ α2 ³ α3, α1 + α2 + α3 = 4 .

Все варианты значений степеней αi запишем в таблицу и для каждого из них составим произведение из леммы 2.

Старший одночлен исходного многочлена равен x12x22 ,

поэтому можно ограничиться рассмотрением одночленов младше него, т.е. взять только третий и четвёртый случаи.

В результате получаем, что f = Aσ22 + Bσ1σ3 или более подробно:

x12x22 + x12x32 + x22x32 =

103

= A (x1x2 + x1x3 + x2x3 )2 + B (x1 + x2 + x3 )(x1x2x3 ).

Подставляем вместо переменных конкретные числа и вычисляем значение всех многочленов, входящих в равенство. Нам нужно получить два независимых условия,

Подставляем полученные значения в наше равенство.

Получился тот же самый ответ, что и при решении предыдущим способом. Можно доказать, что представление,

получаемое в основной теореме, единственно.

104

ЛИТЕРАТУРА

1.Бухштаб, А.А. Теория чисел/ А.А.Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966.

2.Винберг, Э.Б. Алгебра многочленов: учеб. пособие для студ.-заочников III–IV курсов физ.-мат. фак-ов пед. ин-тов/ Э.Б.Винберг. – М.: Просвещение, 1980.

3.Глухов, М.М. Задачник-практикум по высшей алгебре/ М.М.Глухов. – М., 1969.

4.Иванов, А.М. Делимость в кольце целых чисел: учебн.-

5.Казачек, Н.А. Алгебра и теория чисел: учеб. пособ. для студ.-заочников II курса физ.-мат. фак-ов пед.ин-тов/ Н.А.Казачек, Г.Н.Перлатов, Н.Я.Виленкин, А.И.Бородин; под ред. Н.Я.Виленкина. – М.: Просвещение, 1984.

6.Кострикин, А.И. Введение в алгебру: в 3 ч. – Часть I. Основы алгебры: учеб. для вузов/ А.И.Кострикин. – М.: Физматлит, 2000.

7.Кузьмичёв, А.И. Теория сравнений: учеб.-дидак. комплекс/ А.И.Кузьмичёв, В.И.Стрига. – Новосибирск: Изд.

НГПУ, 2002.

8.Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел/ Л.Я.Куликов. – М.: Высшая школа, 1979.

9.Куликов, Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел/ Л.Я.Куликов, Л.И.Москаленко, А.А.Фомин. – М.: Просвещение, 1993.

10.Ляпин, Е.С. Алгебра и теория чисел: в 2 ч. – Часть I. Числа/ Е.С.Ляпин, А.Е. Евсеев. – М.: Просвещение, 1974.

11.Матрос, Д.Ш. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры/ Д.Ш.Матрос, Г.Б.Поднебеснова. – М.: Acadtmia. – 2004.

105

12.Солодовников, А.С. Задачник-практикум по алгебре:

в4 ч. – Часть IV: учеб. пособие для студ.-заочников физ.- мат.фак-ов пед. ин-тов/ А.С.Солодовников, М.А.Родина. – М.: Просвещение, 1985.

13.Тропин, М.П. Алгебра: теория делимости: курс лекций для студентов 2-го курса математического факультета/ М.П.Тропин. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 2007. – 86 с.

14.Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел/ Л.Б.Шнеперман. – СПб.: Лань. – 2008.

106