Алгебра лекции 1 семестр

УДК 512(075.8)

Печатается по решению

ББК 22.143я73-2

редакционно-издательского совета НГПУ

К 893

Р е ц е н з е н т ы :

Тема 1. Матрицы и определители

§1. Матрицы и действия над ними

Матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямоугольная таблица с выделенными

строками и столбцами, на пересечении которых стоит

единственный элемент, называется

матрицей.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. В общем виде матрица A, у которой m строк и k

столбцов, записывается следующим образом:

α

α

… α

11

12

1k

= (αi j ) × ;

Am×k

α21

α22

… α2k

=

… … … …

m k

M ×K –

αm1

αm2

… αmk

– элемент, стоящий в i-й

размерность матрицы, αi j

строке и j-м столбце.

Строки матрицы

AM×K обозначаются так:

A(1) = (α11 α12 … α1K ) ,

A

(2)= (α21 α22 … α2K ) ,

……

αM2 … αMK ) ;

A

(M)= (αM1

а столбцы

- так:

( )

α11

( )

α12

( )

α1K

α

α

α

A

1

=

21

,

A

2

=

22

,…, A

K

=

2K

.

αM1

αM2

αMK

Номера строк записываются внизу в скобках, столбцов –

вверху в скобках.

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае необходимости элементы строк матрицы

A

можно отделять запятыми, например,

A

(3)= (α31, α32, …, α3K ) ,

или точками с запятой:

A

(3)= (α31; α32; …; α3K ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы A и B называются равными, если

равны их размерности и они равны поэлементно, то есть если

A = Am×k = (αi j )

×

, B = Bn×s =

(βi j )

×

то M = N, K = S

m k

1 ≤ i ≤ m

n s

и αi j

= βi j

для всех

и 1 ≤ j ≤ k .

Матрица A размерности

N ×N (в которой количество строк

равно количеству столбцов) называется квадратной матрицей

размерности n.

Действия с матрицами

Можно выделить следующие действия с матрицами.

1) Умножение матрицы на скаляр.

По определению

k

α11

α12

… α1

λ A = λ

α21

α22

k

=

… α2

…

…

…

…

αm1

αm2

… αmk

λ α

λ α

… λ

α

11

12

1k

λ α21 λ α22 … λ

α2

(λ αi j )

=

…

… … … k

=

× ,

m k

λ αm1 λ

αm2

… λ αmk

на скаляр λ равно

т.е. произведение матрицы A =

AM×K

матрице размерности

M ×K , каждый элемент которой равен

произведению

λ на соответствующий элемент матрицы A.

2) Сложение матриц.

)

и B = (βi j )

одной и той же

Суммой матриц A = (αi j

×

×

m k

m k

размерности M ×K называется такая матрица C = (γi j )

× , что

m k

γi j

= αi j

+ βi j

для всех 1 ≤i ≤m, 1 ≤ j ≤k , т.е. сложение

производится поэлементно, причём складываться могут только

матрицы одинаковой размерности.

ПРИМЕР.

2 1 −1 3 −3 6 −4 −2 2

3

1 −1 2

(−2)

2 1

3

+

1 3

=

+

=

1 6 3 9 −2 −6 −2

3 − 4

−3

− 2 6

+ 2

=

−1

−5 8

=

6 − 2 3

− 6 9

− 2

4

.

−3 7

3) Умножение строки на столбец.

Произведением строки

(α1

α2

… αK )

длины k справа на

β1

столбец

β2

такой же длины k называется число (или

βK

1×1 ), равное

матрица размерности

β1

β2

K

+ … + αK βK = ∑αI βI .

(α1 α2 … αK )

= α1 β1 + α2 β2

βK

I =1

Мнемоническое правило умножения строки на столбец той же

длины состоит в следующем. Сначала нужно повернуть строку

на

90 по часовой стрелке, приставить к столбцу так, чтобы

первый элемент строки оказался напротив первого элемента

столбца, второй – напротив второго и т.д. Так как длины

строки и столбца совпадают, то последний элемент строки

будет стоять напротив последнего элемента столбца.

Перемножив стоящие напротив элементы и сложив

полученные произведения, получим результат умножения

строки на столбец.

ПРИМЕР.

0

(

)

1

(

)

(

)

−2 3 4 1

−1

= −2 0 + 3 1 + 4 −1 + 1 2 = 0 + 3 − 4 + 2 = 1.

2

4) Умножение матриц.

Произведением матрицы A размерности M ×K на матрицу B

размерности

K ×R

называется матрица

C размерности M ×R ,

вычисляемая по правилу:

A

1

A

B(

2

)

A

B(

R

)

1

B( )

1

…

1

( )

( )

( )

2

1

A

2

B(

2

)

A

2

R

)

A

(

)

B( )

(

)

…

(

)

B(

AM×K BK ×R = CM×R =

.

…

…

…

…

1

A

B(

2

)

A

R

A

M

B( )

M

…

M

B(

)

(

)

(

)

)

(

Элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы C

1 ≤I ≤M, 1 ≤ J ≤R

)

равен произведению i-й строки матрицы A

(

на j-й столбец матрицы B.

Отметим, что количество столбцов матрицы A должно

совпадать с количеством строк матрицы

B или, другими

словами, длина строки матрицы A должна равняться длине

столбца матрицы

B. Это необходимо для того, чтобы можно

было выполнить умножение строк матрицы A на столбцы

матрицы B.

5) Транспонирование матрицы.

Дана матрица Am×k = (αi j ) × . Транспонированной к ней

m k

= (βi j )

называется матрица AT = Bk ×m

×

такая, что βi j

= α j i

для всех 1 ≤i ≤m, 1 ≤ j ≤k .

k m

1

−1

2

3

1

2

4

T

−1

0

2

2

0

1

Тогда

Пусть A =

1 .

A

=

2

1

5

.

4

2

5

6

3

1

6

ТЕОРЕМА 1 (свойства действий с матрицами).

Для любых матриц A, B, C подходящих размеров и скаляров

α, β верны следующие равенства.

1)

A + (B + C) = ( A + B) + C

(ассоциативность сложения);

2)

A + B = B + A

(коммутативность сложения);

3)

A (B + C ) = A B + A C,

( A + B) C = A C + B C

(дистрибутивность умножения относительно сложения);

4)

α ( A + B ) = α A + α B, (α + β ) A = α A + β A ;

5) α A = A α, α ( A B) = (α A) B = A (α B ) ;

6)

(α β ) A = α ( β A) = β (α A) ;

7)

A (B C ) = ( A B) C (ассоциативность умножения);

8)

(A B)T = BT AT ;

11) 1 A = A,

(

−1 A = −A ;

)

A B + A C существуют и имеют одинаковую размерность

M ×R .

Докажем их поэлементное равенство. Пусть

A = (αi j ) ,

B = (βi j ) ,

C = (γi j ) . Вычислим элемент, стоящий в

i-й строке и j-м столбце матрицы в левой части равенства:

A(i ) (B + C )( j ) =

∑k αi s (βs j + γs j ) .

s =1

Затем найдем элемент i-й строки и j-ого столбца матрицы в

правой части:

C( j ) = ∑k α

∑k α

A

B( j ) + A

(i )

i s

β

+

i s

γ

s j

=

(i )

s =1

s j

s =1

=

∑k

(αi s βs j + αi s γs j ) = ∑k

αi s (βs j + γs j ) .

s =1

s

=1

(B + C ) = A B + A C .

Эти элементы совпадают, поэтому, A

Докажем свойство 7. Для существования произведений

A B,

B C,

( A B) C и

A (B C )

необходимо, чтобы исходные

матрицы имели следующие размерности: A = AK ×N , B = BN ×T ,

C = CT ×S

. Тогда произведения ( A B ) C и A (B C)

имеют

одинаковую размерность K ×S . Докажем их поэлементное

равенство.

Легко видеть, что для действий со строками и столбцами

выполняются равенства

+

A(I )B(

)

A(I ) (B( )

+ B(

2

)

= A(I )B

( )

2

1

1

и

1

T

)

1

T

) .

A(I ) (B( ) + …+ B(

= A(I ) B( ) + …+ A(I ) B(

Обозначим TK ×S = ( A B) C,

HK ×S = A (B C ) . Тогда

Ti j = ( A B )(i ) C(

j

)

1

; A(i ) B(

2

) ;…; A(i )

T

) C(

j

) =

= (A(i ) B( )

B(

= A(i )

1

A(i )

B(

2

) γ2j + …+ A(i )

T

) γT j =

B( ) γ1j +

B(

= A(i )

1

2

) γ2j

T

) γT j

=

(B( ) γ1j + B(

+ …+ B(

β11

γ1

j

β12

γ2

j

β1

t

γT

j

β

γ1

β22 γ2

β2

γT

= A i

21

j

j

t

j

)

+

+ …

+

=

(

β

β

1

γ1

j

β 2 γ

2

j

γT

j

n

n

n t

β11

γ1

J

+ β12

γ2

J

+ …+ β1T γT

J

β21

γ1

+ β22

γ2

+ …+ β2T

γT

= A I

J

J

J

)

=

(

β

1

γ1

J

+ β 2

γ2

J

+ …+

β

T γT

J

N

N

N

B

1

C( J )

( )

C( J )

= A I

B

2

)

= AI (B C )(

J

) = HI J .

)

(

(

B

(N )

C( J )

Что и требовалось доказать.

B = B K ×R . Тогда

Докажем свойство 8. Пусть A = A M ×K ,

(A B)T

имеет размерность R ×M , как и матрица BT AT .

Докажем поэлементное равенство этих матриц.

Пусть

(A B )T

= C = (Ci j

) ,

BT

AT

= H = (Hi j

) . Тогда

β1i

Ci j = A( j ) B(i ) = (α j 1 α j 2 … α j k )

β2

i

=

βk i

= α j 1 β1i + α j 2

β2i + …+ α j k βk i

=

∑k

α j s βsi .

С другой стороны,

s =1

α

j

1

(

)(i )

(

)

( j )

Hi j =

T

T

= (β1i

β2i

α j

2

B

A

… βk i )

=

α j k

= β1 α

1 +

β2

α

2 + …+

β

α

=

j

j

j k

i

i