Алгебра лекции 1 семестр

B1 =

(

2; 1; 2

)

, B2 =

(

3; 2; 1 B3 = 1; 0; 2

)

, B4 =

(

4; 3; 4

)

)

(

через последовательность векторов

A1 = 1; 1; 0

)

, A2 =

(

2; 1; 3

)

, A3

= 1; 1; 1 .

(

(

)

Как сказано выше, записываем матрицу, в которой до черты

стоят компоненты векторов

A1,A2,A3 , а за чертой –

компоненты векторов B1, B2, B3, B4 . Под столбцами

подписываем соответствующие векторы, а над столбцами –

неизвестные

X1,X2,X3 , на которые умножаются вектора

A1, A2, A3

соответственно.

В результате получилось, что

B1 = 1 A1 + 1 A2 +

(

)

A3 = A1

+ A2 − A3,

−1

B2 = 3 A1 + 1 A2 +

(

−2

A3 = 3A1 + A2 − 2A3,

)

A2 − A3,

B3 = 0 A1 + 1 A2 + (

−1) A3 =

2)

Последовательность, содержащая хотя бы два равных

вектора, линейно зависима.

3)

Последовательность, содержащая хотя бы два

пропорциональных вектора, линейно зависима.

4)

Если подпоследовательность линейно зависима, то и вся

последовательность линейно зависима.

5)

Если последовательность линейно независима, то любая её

подпоследовательность также линейно независима.

6)

Если последовательность линейно зависима, то хотя бы

один её вектор линейно выражается через остальные.

7)

Если хотя бы один вектор последовательности линейно

выражается через остальные, то последовательность

линейно зависима.

8)

Если последовательность A1, A2,…,AK линейно независима,

а последовательность A1, A2,…, AK, B линейно зависима, то

вектор b линейно выражается через векторы A1, A2,…,AK .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Практически все свойства доказываются по

определению.

1)

Пусть в последовательности s-тый вектор равен нулю:

AS = θ , 1 ≤S ≤K . Тогда для коэффициентов

λ1 = 0,λ2 = 0,…,λS = 1,…,λK = 0 выполняется равенство

λ1

A1 + λ2 A2

+ …λS AS + …+ λK AK = θ ,

в котором не все коэффициенты равны нулю ( λS = 1 ≠ 0 ). По

определению последовательность A1, A2,…,AK ЛЗ.

2)

Достаточно при одном из равных векторов взять

коэффициент 1, при другом – −1 , а при остальных нули. Тогда

линейная комбинация векторов с этими коэффициентами

будет равна

θ

и не все коэффициенты нулевые. Значит,

последовательность ЛЗ.

3)

Если в последовательности есть векторы λ1 A и λ2 A , где

λ1

≠ 0, λ2

≠ 0 (иначе свойство1) , то берём при этих векторах

коэффициенты λ2 и −λ1

соответственно, а при остальных

векторах нулевые коэффициенты.

4)

При векторах линейно зависимой подпоследовательности

возьмем коэффициенты, обеспечивающие линейную

зависимость, а при всех остальных – нули.

5)

Нужно доказывать от противного с применением свойства

4.

Если последовательность векторов A1, A2,…, AK – ЛЗ, то

6)

существуют не все равные нулю коэффициенты λ1,λ2,…,λK

(пусть λI

≠ 0 ) такие, что

λ1 A1 + …+ λI AI + …+ λK AK = θ λI AI = −λ1 A1 − …− λK AK

λ

λ

AI = −

λ1

A1 + …+ −

K

AK .

λ

I

I

В правой части равенства вектор AI отсутствует, т.е. вектор

AI

линейно выражается через остальные.

7)

Если AI = λ1 A1 + …+ λK

AK и в правой части вектор AI

отсутствует, то, перенося всё в правую часть, получаем

λ1 A1 + …+

(

)

−1 AI + …+ λK AK = θ .

8) Пусть последовательность A1,

A2,…, AK – ЛНЗ, а

последовательность A1,

A2,…, AK

, B

– ЛЗ. Тогда существуют

не все равные нулю коэффициенты

λ1, λ2,…,

λK, λ такие, что

λ1 A1 + λ2

A2 + …+ λK AK + λ B = θ .

Если

λ = 0

, то λ B = θ , хотя бы один из коэффициентов

λ1,…,λK

отличен от нуля и верно равенство

λ1 A1

+ λ2

A2 + …+ λK AK = θ , что означает линейную

зависимость последовательности A1, A2,…,AK , а это

противоречит условию. Значит,

λ ≠ 0 и можно выразить

вектор b из данного равенства

λ B = −λI A1

− …− λK AK ,

λ1

λK

B = −

A1

+ …+

−

AK .

λ

λ

В результате получилось, что вектор b линейно выражается

через векторы A1, A2,…,AK .▲

ТЕОРЕМА 22 (основная лемма о линейной зависимости). Если

каждый вектор последовательности

A1, A2,…, AK, AK+1

( )

линейно выражается через последовательность векторов

B1, B2,…, BK ,

( )

то последовательность ( ) линейно зависима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по k.

Если

K = 1

, то последовательность ( ) состоит из двух векторов

A1,A2

, а последовательность ( ) из одного вектора

B1 и

A1

= λ1 B1, A2

= λ2

B1. Если A1

= θ или A2

= θ , то

последовательность ( ) линейно зависима по теореме 21 (п.1).

Если же A1 ≠ 0, A2 ≠ 0 , то λ1, λ2 ≠ 0

1

1

и λ A1 = B1

= λ A2 .

1

2

считать, что λN +1N

≠ 0 . Исключим из первых N равенств

системы (1) вектор BN

, применяя преобразования, указанные

справа от (1) стрелками (т.е. прибавляя последовательно к

каждому из первых N

равенств системы (1) последнее

равенство, умноженное на соответствующий скаляр). Получим

новую систему равенств

+ β1N −1

BN −1,

A1

−

δ1

AN +1

= β11

B1

+

…

A2

−

δ2

AN +1

= β21

B1

+

…

+ β2 N −1

BN −1,

(2)

− δN AN +1

= βN1 B1 + …+ βN N −1 BN −1,

AN

где δI

и βi j получились после указанных выше

преобразований, а последнее равенство системы (1)

исключено.

По предположению индукции последовательность векторов

C1 = A1 − δ1 AN +1, C2 = A2

− δ2 AN +1,…, CN = AN −

δN AN +1

линейно зависима, так как линейно выражается через

последовательность B1,B2,…,BN −1. Значит, существуют не все

равные нулю коэффициенты γ1, γ2,…, γN P

такие, что верно

равенство γ1

C1 + γ 2 C2

+ …+ γN CN = θ или после подстановки

вместо

CI

их выражений, раскрытия скобок и приведения

подобных

+ …+ γN AN + (−δ1 γ1 − …− δN γN ) AN +1 = θ .

γ1 A1

+ γ2

A2

Но так как не все коэффициенты γI

равны нулю, то

последовательность A1, A2,…, AN , αN +1

– ЛЗ.▲

СЛЕДСТВИЕ. Если каждый вектор последовательности (1)

A1, A2,…, AN

линейно выражается через последовательность

(2) B1, B2,…, BK и N > K , то последовательность (1) линейно

зависима.

Действительно, подпоследовательность A1, A2,…, AK+1 по

теореме 22 будет ЛЗ, а значит, последовательность (1) также

ЛЗ.

Базис и ранг последовательности арифметических

векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом последовательности векторов

A1, A2,…,AK

( )

вектора линейно независима и все векторы

последовательности выражаются через AI :

θ = 0 AI , AI = 1 AI .

Пусть утверждение верно для натурального числа M = N .

Докажем, что утверждение теоремы верно и для M = N +1 , т.е.

что любая конечная последовательность, содержащая ровно

N +1 ненулевой вектор, имеет базис.

(

S ≥N +1 векторы

Пусть в последовательности ( ) A1, A2,…, AS

)

( ) A1′,A2′ ,…,AN′ +1

и только они ненулевые.

Если векторы последовательности ( ) линейно независимы, то

они образуют базис последовательности ( ).

Если же последовательность ( ) линейно зависима, то хотя бы

один из её векторов линейно выражается через остальные. Не

теряя общности, можно считать, что это вектор

′

′

′

AN +1 = β1

A1 + …+

βN AN . По предположению индукции

последовательность

( )

A1′,…,AN′

имеет базис Б =

′′

′′

′′

a1;

a2; …;

aM . Этот базис Б и будет

базисом всей последовательности ( ). Действительно, каждый

нулевой вектор, входящий в ( ), выражается через Б:

′′

′′

θ = 0 A1 + …+ 0 AM .

Если вектор ненулевой из ( ), то он выражается через Б по

определению:

′

′′

′′

′

′′

′′

A1 = λ11 A1 + …+ λ1M AM , …,

AN

= λN1 A1 + …+ λNM AM .

′

Вектор aN +1 также линейно выражается через

последовательность ( ):

′

′

′

aN +1 = β1

a1 + …+

βN aN =

= β1 (λ11 a1′′ + …+ λ1M aM′′ ) + …+ βN (λN1 a1′′ + …+ λNM aM′′ ) =

′′

′′

= γ1 A1 + …+ γM AN ,

Таким образом, каждый вектор последовательности ( )

линейно выражается через Б. Кроме того Б линейно

независима как базис последовательности ( ).

2) Пусть

Б1

= a1;

…;

aK

и

Б2

= b1; …; bM

– базисы

одной и той же последовательности векторов. Тогда они

линейно независимы, являются подпоследовательностями всей

последовательности и каждый вектор всей последовательности

линейно выражается и через

Б1

, и через Б2 . В частности,

каждый вектор из Б1

линейно выражается через векторы Б2

и, наоборот, каждый вектор из

Б2 линейно выражается через

векторы

Б1

. По следствию к теореме 22 случаи K > M и M > K

для чисел k

и m приводят к противоречию (либо

Б1– ЛЗ, либо

Б2 – ЛЗ). Значит, K = M .▲

ЗАМЕЧАНИЕ. В ходе доказательства теоремы показано, что если

вектор b

линейно выражается через последовательность

A1,A2,…,AK

, содержащую ненулевые векторы, то он линейно

выражается и через её базис.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом

конечной последовательности,

содержащей хотя бы один ненулевой вектор, называется

количество векторов в любом её базисе. Ранг

последовательности нулевых векторов считается равным нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом арифметического векторного

пространства PN

называется последовательность векторов из

1

0

0

B

B

0

1,S +1

1,K

0 1

0

B2,S +1 B2,K

0

(*)

.

0 0 1 BS,S +1

BS,K

0

Можно доказать следующее.

1) Векторы

A1,A2,…,AS линейно независимы.

Действительно, если взять уравнение

X1

A1 + X2 A2

+ …+ XS AS = θ

, свести его к системе и

преобразовать её к конечному виду теми же

преобразованиями, что и выше, то получим конечную матрицу

следующего вида:

1

0

0

0

0

1

0

0

.

0

0

1 0

Отсюда следует, что X1 = 0,

X2 = 0,..., XS = 0.

2) Векторы

AS +1,AS +2,…,AK

линейно выражаются через

векторы A1,A2,…,AS

, причём в

I-том столбце (*) получатся

коэффициенты соответствующей линейной комбинации.

Действительно, если взять уравнение

X1 A1 + X2 A2 + …+ XS AS = AI ,

S + 1 ≤ I ≤ K,

свести его к системе и преобразовать её к конечному виду

теми же преобразованиями, что и выше, то получим конечную

матрицу следующего вида:

1

0

0

B

1,I

0

1

0

B2,I

.

0

0

1

BS,I

Отсюда следует,

что X1 = B1,I ,

X2 = B2,I ,...,XS = BS,I

или

AI

= B I A + B

I A

2

+ …+ BS I AS .

1,

1

2,

,

Из пунктов 1) и 2) следует, что подпоследовательность

A1,A2,…,AS

является базисом последовательности A1, A2,…, AK .

Суть метода состоит в том, что для доказательства линейной

независимости и доказательства линейной выражаемости мы

одновременно, при помощи одинаковых преобразований

решаем 1 +

(n − s)

систем (векторных уравнений). Результаты

решения этих систем (векторных уравнений) записаны в

матрице (*).

ПРИМЕР. Найти базис и ранг последовательности векторов и

выразить все векторы последовательности через найденный

базис:

−1;

1; 1 ,

(

2; 2;

2; 3

)

,

A3 = 1; 3;

1; 2

)

,

A1

= 1;

A2 =

(

)

(

α11

α12 ...

α1N

X1

Y1

...

Z1

α21

α22 ...

α2N

X2

Y2

...

Z2

A =

. ...

, X =

... .

.

.

.

. .

αN1 αN2 ...

αNN

XN

YN

...

ZN

Тогда α11

α12

… α1N

X1

Y1

…

Z1

1 0 …

0

Y2

α21 α22

… α2N X2

… Z2

0 1 …

0

A X =

… … … …

= .

αN2

… αNN

YN

ZN

αN1

XN

0 0 …

1

Перемножая матрицы A

и X и приравнивая произведение к матрице

E поэлементно, получим n систем линейных уравнений с основной

матрицей A:

α11 X1 + α12 X2 + …+ α1N XN = 1,

α21 X1 + α22 X2 + …+ α2N XN = 0,

αN1 X1 + αN2 X2 + …+ αNN XN = 0,

+ α12 Y2

+ …+ α1N YN = 0,

α11 Y1

α21 Y1 + α22 Y2 + …+ α2N YN = 1,

αN1 Y1 + αN2 Y2 + …+ αNN YN = 0,

…

+ α12 Z2

+ …+ α1N ZN = 0,

α11 Z1

α21 Z1 + α22 Z2 + …+ α2N ZN = 0,

αN1 Z1 + αN2 Z2 + …+ αNN ZN = 1.

Столбцы свободных членов этих систем равны соответствующим

столбцам матрицы E. Чтобы решить все эти системы одновременно,

записываем расширенную матрицу, которая имеет вид

(A

E ) , и

преобразуем её модифицированным методом Гаусса к конечной

матрице. Если при этом получится, что хотя бы одна из систем не

имеет решения (до черты вся строка нулевая, а за чертой в этой

строке существует ненулевой элемент), то для матрицы

A обратной не

15

2

12

7

1

6

A =

.

24

3

19

1

−2

0

Обратная для A существует и равна

A

−1

11

−3

−6

=

.

−3

3

1

ПРИМЕР. Выяснить, существует ли обратная для матрицы A и найти

1

2

−1

2

−1

её, если она существует: A =

3 .

1

12

−11

ПРИМЕР. Самым маленьким подпространством является L = {θ }.

Это подпространство называется нулевым.

Действительно, оно удовлетворяет условиям 1) и 2):

θ + θ = θ L, λ θ = θ L.

ЗАМЕЧАНИЕ. Легко видеть, что если L – подпространство

арифметического векторного пространства, то для

L

выполняются все свойства теоремы 20.

ТЕОРЕМА 24. Если L – ненулевое подпространство

θ ≠ A1 L . Рассмотрим L1 = {λ A1

λ P} . Тогда L1 L и, если

L1 = L , то Б1 =

a1 – базис L. Пусть L1 ≠ L . Тогда существует

A2 L

и A2 L1. Докажем, что последовательность векторов

A1, A2

– ЛНЗ.

Пусть, напротив, λ1 A1 + λ2 A2 = θ и λ1 ≠ 0 или λ2 ≠ 0 . Если

λ

λ2 ≠ 0 , то A2 = − λ12 A1 и получаем противоречие с условием

A2 L1

. Если же λ2 = 0 , то λ1 a1 = θ , а так как A1 ≠ θ , то

λ1 = 0 , что противоречит предположению. В обоих случаях

получилось противоречие. Значит, последовательность A1, A2

является линейно независимой.

Далее рассмотрим L2 = {λ1 A1 + λ2 A2

λ1,λ2 P} . Если L2 = L

,

то Б2 = a1; a2

– базис L. Если же L ≠ L2 , то существует

A3 L,

A3 L2

и последовательность A1, A2, A3 – линейно

независима. (Доказательство снова от противного: если

A1,A2,A3 – ЛЗ и по условию A1,A2 – ЛНЗ, то A3 линейно

выражается через A1,A2

(теорема 21, свойство 8). Значит,

A3 L2

, что не так.)

Далее рассмотрим

L3 = {λ1 A1 + λ2

A2 + λ3 A3

λ1,λ2,λ3 P} и т.д.

В результате получим

последовательность линейно

независимых векторов A1,A2,A3,…. Она не может содержать

более чем n векторов, поэтому для какого-то 1 ≤K ≤N будет

выполняться равенство

LK = L . В этом случае

последовательность Б =

a1; a2; …; aK будет базисом

подпространства L.▲

§3. Однородные системы линейных уравнений.

Фундаментальные системы решений (ФСР)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется однородной,

если все её свободные члены равны нулю, т.е. она имеет вид