Алгебра 3 семестр Лекцииi

кольца. Большинство доказательств аналогичны, поэтому не будем их повторять, а остановимся только на особенностях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент m называется наибольшим общим делителем элементов a и b , если он является их

общим делителем и делится на любой другой их общий делитель, т.е. если

1)a Mm, bMm ,

2)"k ((aMk, bMk ) Þ mMk ) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как наибольший общий делитель делится на любой другой общий делитель, то он согласно аксиоме 1 будет иметь наибольшую норму. НОД определяется

тогда и только тогда, когда существует НОД(b, r ) причём НОД(a, b) : НОД(b, r ) .

ТЕОРЕМА (Евклид). НОД любых двух одновременно не равных нулю элементов a и b существует.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если a Mb , то НОД(a, b) : b . Если bMa ,

то НОД(a, b) : a .

51

Если a Mb, b ¹ 0 , то, пользуясь теоремой о делении с остатком (аксиома 2), получаем алгоритм Евклида:

a = bq1 + r1, δ (r1 ) < δ (b) ;

b = r1q2 + r2, δ (r2 ) < δ (r1 );

r1 = r2q3 + r3, δ (r3 ) < δ (r2 ); K

1) Алгоритм Евклида обрывается.

Действительно, последовательность евклидовых норм остатков удовлетворяет следующему свойству:

δ (b) > δ (r1 ) > δ (r2 ) > δ (r3 ) > K ³ 0 .

Эта последовательность не может быть бесконечной, т.к. между числами δ (b) и 0 лишь конечное количество

различных целых чисел. Алгоритм может оборваться только тогда, когда получится нулевой остаток и очередное деление будет невозможно выполнить. В результате получится следующий набор условий.

a = bq1 + r1, δ (r1 ) < δ (b) b = r1q2 + r2, δ (r2 ) < δ (r1 ) r1 = r2q3 + r3, δ (r3 ) < δ (r2 ) ;

rn −2 = rn −1qn + rn , δ (rn ) < δ (rn −1 ) ; rn −1 = rnqn +1 + 0 .

2) НОД(a, b) существует и ассоциирован с последним ненулевым остатком в алгоритме Евклида:

НОД(a, b) : rn .

52

ТЕОРЕМА (тождество Безу). Для любых двух не равных нулю одновременно элементов a, b Î K существуют такие u,v K , что

au + bv : НОД(a, b) .

ТЕОРЕМА (основное свойство НОД). НОД двух не равных

нулю одновременно элементов ассоциирован с общими делителями, имеющими наибольшую евклидову норму.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m общий делитель элементов a, b , имеющий наибольшую евклидову норму, а d – один из наибольших общих делителей элементов a, b . По определению

Если r = 0 , то m = dq и mMd .

После этого из соотношений dMm, mMd по свойству 5 ассоциированности получаем, что d : m .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель ассоциирован с единицей. Или, что равносильно, их

наибольший общий делитель является обратимым элементом кольца K .

ТЕОРЕМА (признак взаимной простоты). Числа a и b

являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют такие u,v K , что au + bv = 1.

53

СВОЙСТВА ВЗАИМНОЙ ПРОСТОТЫ.

8) Если abMc и элементы a и c взаимно просты, то

bMc .

9) Если a Mb, aMc и b, c взаимно просты, то a Mbc .

§5. Разложение на простые сомножители в евклидовых кольцах

является обратимым и не имеет нетривиальных делителей, т.е. делителей которые либо являются обратимыми, либо ассоциированы с p .

δ (a) > δ (b), δ (c ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, напротив, δ (a ) = δ (b) . Разделим b на a с остатком

b = aq + r, r = 0 или δ (r ) < δ (a ) .

что противоречит условию. В результате r ¹ 0 и δ (r ) < δ (a ) .

Выражаем r из полученного равенства и оцениваем его евклидову норму.

b = aq + r = bcq + r Þ r = b - bcq = b (1 - cq) .

δ (r ) = δ (b (1 - cq)) ³ δ (b) = δ (a ) .

54

Снова получилось противоречие:

δ (r ) < δ (a), δ (r ) ³ δ (a) .

Таким образом, предположение о том, что δ (a ) = δ (b) во всех случаях приводит к противоречию. Поэтому δ (a ) > δ (b) .

Аналогично доказывается, что δ (a ) > δ (c ) .

В результате получилось

СЛЕДСТВИЕ. Элемент a ¹ 0 является составным тогда и только тогда, когда существуют b, c такие, что

a = bc, δ (b) < δ (a), δ (c ) < δ (a) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Все обратимые элементы имеют норму, равную δ (1) . Причём это наименьшее возможное значение нормы.

Действительно, пусть а Î K , a ¹ 0, β Î K . Так как 1Mβ и β M1, то δ (1) = δ (β ) . Так как a Mβ , то δ (a) ³ δ (β ) .

После этого можно доказать

ТЕОРЕМУ (о разложении на простые элементы в евклидовом кольце). Всякий элемент a Î K , a ¹ 0 , не

являющийся обратимым, может быть разложен в произведение простых сомножителей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО может быть проведено индукцией по

δ (a) .

Если δ (a) = δ (1) , то a очевидно будет простым

элементом и поэтому представимо в виде произведения одного простого сомножителя.

Пусть для всех элементов, имеющих евклидову норму меньше некоторого n , существование разложения доказано.

55

Докажем существование разложения для элемента a Î K, δ (a ) = n .

Если a – простой элемент, то, как уже отмечалось, a

представим в виде произведения одного простого сомножителя, равного a . Если a – составное, то

a = bc, δ (b) < δ (a), δ (c ) < δ (a) .

По предположению индукции элементы b, c

раскладываются в произведение простых сомножителей b = p1p2 ×K× pk , c = q1q2 ×K× qs

и в результате

a = p1p2 ×K× pkq1q2 ×K× qs .

Для доказательства единственности разложения понадобятся свойства простых элементов.

ТЕОРЕМА (о свойствах простых элементов) 1) Всякий элемент a Î K , a ¹ 0 , и произвольный простой элемент p

либо взаимно просты, либо a M p .

2) Если a ×bM p , p – простой элемент, то a M p или bM p .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) У элемента p два типа делителей: β и β p , где β K – обратимый элемент. Поэтому

НОД(a, p) : β или β p .

В первом случае a и p взаимно просты, во втором случае a M p .

2) Действительно, если a M p , то доказывать нечего. Если a Mp , то a и p – взаимно просты и по свойству делимости 8 получаем, что bM p .

56

Свойство 2) можно по индукции доказать для произвольного количества сомножителей: если произведение ненулевых элементов делится на простой элемент, то хотя

бы один из сомножителей делится на этот простой элемент.

ТЕОРЕМА (о единственности разложения на простые элементы в евклидовом кольце). Разложение всякого необратимого элемента a Î K , a ¹ 0 в произведение простых

сомножителей, единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

ЗАМЕЧАНИЕ. Под единственностью в данном случае понимается следующее. Во-первых, любые два разложения элемента имеют одинаковое количество сомножителей. Во- вторых, сомножители в любых двух разложениях данного элемента можно переставить так, что сомножители с одинаковым номером будут ассоциированы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИНДУКЦИЯ ПО δ (a) . Если δ (a) = δ (1) , то

a будет простым элементом и единственность очевидна.

Пусть для всех элементов, имеющих евклидову норму меньше некоторого n , единственность разложения доказана.

Докажем единственность разложения для элемента a Î K, δ (a ) = n .

Пусть есть два разложения элемента a на простые сомножители:

a = p1p2 ×K× pk = q1q2 ×K× qs .

Так как произведение p1p2 ×K× pk делится на простой элемент q1 , то по теореме, доказанной выше, один из сомножителей (пусть для простоты обозначений это будет p1 ) делится на q1 . В силу простоты элементов p1 и q1 имеем p1 : q1 или p1 = β1q1 для подходящего обратимого элемента β1 . Сокращая равенство на q1 , получаем

57

(β1p2 ) p3 ×K× pk = q2 ×K× qs .

Элемент β1p2 является очевидно простым. Кроме того,

по признаку нетривиального делителя

δ(a ) = δ (q1q2 ×K× qs ) > δ (q2 ×K× qs )

иможно воспользоваться индукционным предположением. В результате получим, что k = s и можно так переставить сомножители во втором разложении, что

что исходные разложения после перестановки сомножителей во втором разложении удовлетворяют следующим условиям.

Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо K называется факториальным,

если оно является областью целостности и всякий ненулевой и необратимый элемент в нём имеет разложение на простые сомножители, которое единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

Ассоциированные простые сомножители можно объединить в степень следующим образом. Если

p2 = β2 p1, p3 = β3 p1,K, ps = βs p1, то

произведение обратимых элементов.

СЛЕДСТВИЕ (каноническое разложение). Всякий необратимый элемент a Î K, a ¹ 0 , может быть разложен в произведение:

58

a = Ap1α1 pα22 ×K× pkαk ,

где p1, p2,K, pk – попарно неассоциированные простые элементы, A – некоторый обратимый элемент.

ТЕОРЕМА (формула для делителей). Если необратимый ненулевой элемент представлен в каноническом виде:

Два канонических разложения называются согласованными, если в них входят одинаковые простые элементы. Нетрудно понять, что любые два канонических разложения можно сделать согласованными.

ТЕОРЕМА (формулы для вычисления НОД и НОК). Пусть

даны два произвольных ненулевых необратимых элемента и их согласованные канонические разложения:

a = Ap1α1 p2α2 ×K× pkαk , b = Bp1β1 p2β2 ×K× pkβk .

Пусть γi = min(αi , βi ) , εi = max (αi , βi ) , тогда

Кроме того НОД(a, b) НОК(a, b) : ab .

59

ТЕМА 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Кольцо многочленов от одной переменной

Везде в данном разделе для простоты будет предполагаться, что K – коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей без делителей нуля. Типичным примером такого кольца является кольцо целых чисел.

элементы кольца K . Элемент ai называется коэффициентом

Многочлен называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть даны многочлены

f (x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0 ,

g (x ) = bm xm + bm −1xm −1 + K+ b1x + b0 и k = max (n, m) .

Суммой многочленов f (x ) и g (x ) называется

многочлен

f (x ) + g (x) =

60