Алгебра 3 семестр Лекцииi

α=(α1, α2, K, αk ) Aα x1α1xα22 ×K× k . (1)

Вкачестве индекса в общем случае удобно брать набор степеней α = (α1, α2,K, αk ) . Предполагается, что в даннойf (x1, x2, x3,K, xk ) = å xαk

сумме нет подобных слагаемых. Форма записи (1) называется стандартной формой многочлена. Если набор переменных ясен из контекста, то многочлен f (x1, x2, x3,K, xk ) для

краткости можно записывать как f .

Два многочлена в стандартной форме, считаются равными, если в их стандартной записи одночлены с

одинаковыми наборами значений степеней имеют одинаковые коэффициенты.

Для многочленов от данного множества переменных определяется сумма и произведение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух многочленов f , g от переменных x1, x2, x3,K, xk называется многочлен, равный сумме всех одночленов, входящих в них. Произведением f , g называется многочлен, который получается как сумма всевозможных произведений одночленов из f на одночлены из g . При этом предполагается, что выполняется следующее правило перемножения одночленов:

(Ax1α1 xα22 ×K× xkαk )× (Bx1β1x2β2 ×K× xkβk ) =

= (A B )x1α1+ β1xα22 +β2 ×K× xkαk +βk .

ПРИМЕР. Найти сумму и произведение многочленов

91

f (x1, x2, x3 ) = 5x1x22 - 2x1x2 + x3 ,

g (x1, x2, x3 ) = -2x12x22 - x1x2x3 + x1x2 .

Чтобы найти сумму, записываем все одночлены данных многочленов в общую сумму и приводим подобные.

f(x1, x2, x3 ) + g (x1, x2, x3 ) =

=(5x1x22 - 2x1x2 + x3 ) + (-2x12x22 - x1x2x3 + x1x2 ) =

=5x1x22 - x1x2 + x3 - 2x12x22 - x1x2x3 .

Чтобы найти произведение, перемножаем все

одночлены первого многочлена на одночлены второго и приводим подобные.

ТЕОРЕМУ. Множество K [x1, x2,K, xk ] , с определёнными

на нём операциями сложения и умножения, является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней ненулевых одночленов, входящих в его стандартную форму. Многочлен называется однородным,

если все входящие в него одночлены имеют одинаковую степень.

92

Например, многочлены из предыдущего примера имеют соответственно степени 3 и 4. Однородным является, например, многочлен

f (x1, x2, x3 ) = -x12x22 - 5x1x2x32 + x1x23 .

Степень его равна 4.

Понятие степени не играет большой роли при изучении многочленов от нескольких переменных. Можно доказать свойства степени такие же, как и в случае одного переменного, а при помощи этих свойств

СЛЕДСТВИЕ. Если кольцо коэффициентов K не содержит делителей нуля, то кольцо многочленов K [x1, x2,K, xk ] также не содержит делителей нуля.

Понятие степени можно использовать, чтобы несколько

упорядочить стандартную форму записи многочлена от нескольких переменных. А именно, можно разбить многочлен на однородные составляющие, т.е. объединить в скобки все одночлены одинаковых степеней. Эти составляющие можно записать, скажем, в порядке убывания степени.

Например, многочлен f × g из предыдущего примера можно представить так:

(-10x13x24 ) + (-5x12x23x3 + 4x13x23 ) +

+ (5x12x23 ) + (-2x12x22 - x1x2x32 ) + (x1x2x3 ) .

Сначала идут все одночлены седьмой степени, потом шестой, потом пятой, четвёртой и третьей.

§2. Лексикографический порядок

Рассмотрим ещё один способ упорядочивания стандартной формы многочлена от многих переменных –

93

лексикографический порядок. Такой порядок используется для упорядочивания слов в словарях.

если существует такое 1 £ i £ k , что

α1 = β1, α2 = β2, K, αi −1 = βi −1, αi > βi .

Обозначение: u ? v .

В результате, на множестве ненулевых одночленов от данного набора переменных задан порядок, который называется лексикографическим.

ТЕОРЕМА (свойства лексикографического порядка). Для любых ненулевых одночленов u,v, w, z от данного множества

переменных x1, x2,K, xk выполняются следующие свойства.

1)Одночлены u,v либо подобны, либо u ? v , либо u = v (свойство линейности).

2)Если u ? v , v ? w , то u ? w (транзитивность).

3)Если u ? v , то uw ? vw (монотонность).

4)Если u ? v , w ? z , то uw ?vz .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойство 1) очевидно.

2) Пусть

u = Ax1α1x2α2 ×K× xkαk , v = Bx1β1 x2β2 ×K× xkβk ,

w = Cx1γ1x2γ2 ×K× xkγk .

Пусть

α1 = β1, α2 = β2, K, αi −1 = βi −1, αi > βi , β1 = γ2, β2 = γ2, K, β j −1 = γ j −1, β j > γ j .

94

Если i £ j , то

α1 = β2 = γ1, α2 = β2 = γ2, K, αi −1 = βi −1 = γi −1, αi > βi = γi Þ

Þ u ? w .

Если i > j , то

α1 = β2 = γ1, α2 = β2 = γ2, K, α j −1 = β j −1 = γ j −1, α j = β j > γ j Þ

3) При домножении на одночлен к степеням αi , βi добавятся некоторые числа γi . Однако соотношения между степенями сохранятся:

αi = βi Û αi + γi = βi + γi , αi > βi Û αi + γi > βi + γi .

4) По свойству 3 получаем uw ? vw и wv ? zv . Из этого по свойству 2 (транзитивность) следует, что uw ? zv .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f (x1, x2, x3,K, xk ) – ненулевой многочлен от переменных x1, x2, x3,K, xk . Старшим одночленом многочлена f называется одночлен в его

95

стандартной форме, который старше остальных одночленов в лексикографическом смысле.

ПРИМЕР. Упорядочить одночлены в записи многочлена

(−6x13x24 ) + (−5x12x23x3 + 8x13x23 ) +

+ (5x12x23 ) + (−2x12x22 − x1x2x32 ) + (x1x2x3 )

по убыванию лексикографическому порядка.

Согласно определению, сначала сравниваются степени одночленов при x1 , если они равны, то при x2 и т.д. до тех пор, пока равенство где-то не нарушится. Таким образом, величина степени x1 при лексикографическом упорядочивании играет большую роль, чем величина степени при x2 и т.д.

Рассмотрим все одночлены данного многочлена, у которых переменная x1 имеет степень 3. Упорядочиваем их по степени второй переменной:

−6x13x24 ? 8x13x23 .

Затем берём все одночлены, у которых x1 имеет степень

2, и упорядочиваем их по степени второй переменной, а если они равны, то по степени третьей переменной:

−5x12x23x3 ? 5x12x23 ? −2x12x22 .

Например, одночлен −5x12x23x3 старше одночлена

5x12x23 , т.к. у них равны степени x1 , x2 , а степень x3 у первого равна единице, а у второго – ноль, т.е. меньше.

Наконец, остались два одночлена, у которых x1 в степени 1:

−x1x2x32 ? x1x2x3 .

96

Искомое упорядочивание записи данного многочлена будет таково:

-6x13x24 + 8x13x23 - 5x12x23x3 + 5x12x23 - 2x12x22 - x1x2x32 + x1x2x3 .

ТЕОРЕМА (о старшем одночлене произведения). Старший

одночлен произведения ненулевых многочленов равен произведению старших одночленов сомножителей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f , g – два многочлена от переменных x1, x2, x3,K, xk . Пусть F – старший одночлен в f , а X ¹ F – ещё один одночлен из f . Аналогично, пусть G – старший одночлен в g , а Y ¹ G – ещё один одночлен из g . По

условию

3), 4)

X = F, Y = G Þ XY = FG, XG = FG, FY = FG .

Теорема доказана, т.к. одночлены в произведении f g по определению имеют один из следующих видов:

XY, XG, FY , FG .

ЗАМЕЧАНИЕ. Лексикографический порядок для одночленов можно распространить на многочлены по следующему принципу:

многочлен f старше многочлена g тогда и только тогда, когда старший одночлен f старше старшего одночлена g .

§3. Симметрические многочлены

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен f (x1, x2, x3,K, xk ) называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке переменных, т.е. для любой перестановки (i1, i2,K, ik ) чисел 1, 2,K, k выполняется равенство

97

f (x1, x2, x3,K, xk ) = f (xi1 , xi2 , xi3 ,K, xik ) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как любая перестановка сводится к транспозициям (перестановке двух чисел), то многочлен будет симметрическим тогда, и только тогда, когда он не меняется от перестановки любых двух переменных.

ПРИМЕР (элементарные симметрические многочлены).

Следующие многочлены являются симметрическими.

σ1 (x1, x2,K, xk ) = x1 + x2 + K + xk ,

σ2 (x1, x2,K, xk ) = x1x2 + x1x3 + K+ xk −1xk

(всевозможные произведения двух переменных),

σ3 (x1, x2,K, xk ) = x1x2x3 + x1x2x4 + K+ xk −2xk −1xk

(всевозможные произведения трёх переменных),

σk (x1, x2,K, xk ) = x1x2 Kxk

(всевозможные произведения k переменных).

Симметричность этих многочленов практически очевидна. По определению σs (x1, x2,K, xk ) – это сумма

всевозможных произведений s переменных. Если поменять местами любые две переменные, то снова получится сумма всевозможных произведений s переменных. Эти многочлены

называются элементарными симметрическими многочленами, т.к. ниже будет доказано, что через них

выражаются все симметрические многочлены от данного множества переменных.

ЗАМЕЧАНИЕ. В запись многочлена σs (x1, x2,K, xk )

98

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Симметрические многочлены образуют подкольцо в кольце многочленов K [x1, x2,K, xk ] .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сумма и произведение симметрических многочленов снова будет симметрическим многочленом, т.к., например, чтобы поменять местами две переменные в сумме, нужно поменять их местами в каждом слагаемом, а если слагаемые от такой перестановки не изменятся, то не изменится и сумма.

После этого предложение следует из критерия подкольца.

Ниже будет доказано, что подкольцо симметрических

многочленов порождается элементарными симметрическими многочленами (см. основную теорему о симметрических многочленах ниже). Для этого нам понадобится доказать три предварительных утверждения.

ЛЕММА 1 (о старшем одночлене симметрического

одночлен некоторого ненулевого симметрического многочлена

Противоречие.

99

(αi - αi +1 ) + (αi +1 - αi +2 ) + K + (αk −1 - αk ) + αk = αi , K.

Лемма доказана.

ЛЕММА 3. Убывающая цепочка ненулевых симметрических многочленов не может быть бесконечной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f1 ? f2 ? f3 ?K – убывающая

цепочка ненулевых симметрических многочленов и

одночлены всех остальных многочленов младше u и попарно

100