Алгебра 3 семестр Лекцииi

и попарно различные элементы c1, c2,K, cn ,cn +1 Î K такие, что f (ci ) = g (ci ) для любого 1 £ i £ n +1 .

Рассмотрим многочлен h (x ) = f (x ) - g (x ) . Степень его не превосходит n , а элементы c1, c2,K,cn , cn +1 будут его корнями, т.к.

h (ci ) = f (ci ) - g (ci ) = 0 .

Согласно следствию 1

h (x ) = f (x ) - g (x ) = 0 Þ f (x ) = g (x ) .

Следствие 2 доказано.

Кроме обычного равенства многочленов как выражений, можно рассматривать равенство многочленов как функций. Возникает вопрос: как связаны эти понятия?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят что многочлены f (x ), g (x) Î K функционально равны, если для любого элемента c K выполняется равенство f (c ) = g (c ) .

ОБОЗНАЧЕНИЕ: f (x ) º g (x ) .

ТЕОРЕМА (о равносильности алгебраического и функционального равенства). Если K – бесконечное кольцо без делителей нуля, то многочлены над K равны тогда и только тогда, когда они функционально равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В прямую сторону теорема очевидна, т.к. если многочлены равны, то и их соответствующие значения будут равными.

71

c1, c2,K, cn ,cn +1 Î K . По условию f (ci ) = g (ci ) для любого 1 £ i £ n +1 . Так как степень этих многочленов не превосходит n , то по следствию 2 f (x ) = g (x ) .

§3. Многочлены над полем

являются обратимыми, по теореме об обратимых элементах они будут обратимыми элементами и в кольце P [x] . Для того,

чтобы получить, что кольцо многочленов является евклидовым, осталось доказать

ТЕОРЕМУ (о делении с остатком). Для любых многочленов

Пусть f ¹ 0, cm ( f ) = n ³ cm (g ) = m . Доказательство в

этом случае проведём индукцией по степени n . Если n = 0 , то m = 0 и данные многочлены просто элементы поля P , причём

72

Предположим, что для всех многочленов степени меньше некоторого n теорема выполняется. Докажем её для

многочлена f (x ) степени n .

Рассмотрим данные многочлены в стандартной форме:

f (x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0 и

g (x ) = bm xm + bm −1xm −1 + K + b1x + b0, bm ¹ 0 .

Вычтем из f (x ) многочлен g (x ) , умноженный на такой

сомножитель, чтобы старшие коэффициенты сократились и степень разности уменьшилась.

A (x ) = f (x ) - an × xn −m g (x ) . bm

ЕДИНСТВЕННОСТЬ. Пусть

f (x ) = g (x )h1 (x ) + r1 (x ) = g (x )h2 (x ) + r2 (x )

73

и для i = 1, 2 либо ri = 0 , либо cm (ri ) < cm (g ) . Преобразовав равенство, получаем

g (x )(h1 (x ) - h2 (x )) = r2 (x ) - r1 (x ) .

Если h1 (x ) - h2 (x ) ¹ 0 , то r2 (x ) - r1 (x ) ¹ 0 . Оценим степень левой и правой части полученного равенства.

cm (r2 (x ) - r1 (x )) < cm (g) , cm (g (x )(h1 (x ) - h2 (x))) =

= cm (g (x )) + cm ((h1 (x ) - h2 (x))) ³ cm (g ) .

Полученное противоречие говорит о том, что данный случай невозможен.

Если h1 (x ) - h2 (x ) = 0 , то r2 (x ) - r1 (x ) = 0 и r2 (x ) = r1 (x ) , h1 (x ) = h2 (x ) .

Теорема полностью доказана.

Из доказательства теоремы о делении с остатком извлекается алгоритм деления многочленов в столбик. Чтобы найти частное и остаток, нужно из многочлена f (x )

вычитать многочлен g (x ) , умноженный на такие одночлены,

чтобы степень разности понижалась. И это делается до тех пор, пока либо не получится ноль, либо степень не станет строго меньше степени делителя g (x ) .

СЛЕДСТВИЕ. Пусть f , g Î P [x] и g ¹ 0 . Условие f Mg

выполняется тогда и только тогда, когда остаток от деления f на g равен нулю.

74

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если f Mg , то f = gh = gh + 0 и, в силу

единственности частного и остатка, частное равно h , а остаток – 0.

Оформим решение в виде деления «столбиком».

−4x4 + 2x2 + 7x +1 4x4 + 2x2 + 6x

x+1

Разность, полученная на втором шаге, имеет степень, строго меньшую степени делителя. Ввиду этого, деление закончено, и результат в виде равенства можно записать следующим образом.

2x5 + 4x4 + x3 + 5x2 + 7x +1 = (2x3 + x + 3)(x2 + 2x )+ (x +1) .

Единственность частного и остатка позволяет решать некоторые задачи методом подбора, ведь если h (x ),r (x ) ,

удовлетворяющие условиям теоремы, каким-то образом найдены, то поиски можно прекратить, т.к. других частного и остатка нет.

ПРИМЕР. Разделить f (x ) = (2x2 +1)111 − x5 + x − 333 с

остатком на (2x2 +1)3 .

Заметим, что

75

( 2 )3 ( 2 )108 5

f (x ) = 2x +1 2x +1 - x + x - 333 и

(-x5 + x - 333).

Из предыдущего следует, что степень в кольце многочленов над полем является евклидовой нормой. Всё, что было доказано ранее для евклидовых колец, выполняется и для кольца многочленов над полем. Можно сделать следующие уточнения.

1)Обратимыми элементами являются ненулевые многочлены степени 0, т.е. ненулевые элементы поля P .

2)Тривиальными делителями произвольного ненулевого

первого вида равна 0; степень тривиальных делителей второго вида совпадает со степенью исходного многочлена.

3) Ассоциированными будут многочлены, отличающиеся постоянным множителем a Î P, a ¹ 0 :

f(x ) : af (x) .

4)Ассоциированные многочлены имеют одинаковое множество делителей (см. свойства) и с точки зрения делимости ведут себя одинаково. Ввиду этого, некоторые

понятия определяются с точностью до сомножителя из поля

P .

Таковым является, например, наибольший общий делитель. Для определённости, среди всех наибольших общих

делителей некоторой пары многочленов можно выделить

76

наибольший общий делитель со старшим коэффициентом равным единице и обозначить его НОД. Для этого нам

понадобится следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой многочлен называется нормированным, если его старший коэффициент равен 1. В качестве HOД ( f , g) будем обозначать нормированный

наибольший общий делитель многочленов f , g . Если

многочлен разделить на его старший коэффициент, то получится нормированный многочлен, ассоциированный с данным.

Некоторые утверждения теории делимости, пользуясь спецификой многочленов, можно усилить.

СЛЕДСТВИЕ (модифицированное тождество Безу). Если f (x ), g (x ) – ненулевые многочлены, которые не делятся друг

на друга, то существуют такие многочлены u (x ),v (x ) , что

f(x )u (x ) + g (x )v (x) = HOД ( f , g)

иcm (u) < cm (g ), cm (v ) < cm ( f ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть HOД ( f , g) = d . По теореме Безу существуют такие многочлены u0,v0 , что fu0 + gv0 = d . Пусть u – это остаток от деления u0 на g :

u0 = gh + u .

Заметим, что u ¹ 0 , т.к. если u = 0 , то

u0 Mg Þ fu0 + gv0 = dMg Þ f Mg ,

что противоречит условию. Следовательно cm (u) < cm (g) , и

одно из требуемых неравенств выполняется. Подставляем полученное равенство в тождество Безу и преобразуем.

d = fu0 + gv0 = f (gh + u) + gv0 = fu + g ( f h + v0 ) .

77

Положим v = fh + v0 и попытаемся оценить степень gv .

cm (gv ) = cm (d - fu) £ cm ( f ) + cm (u) < cm ( f ) + cm (g) ,

т.к. cm (u) < cm (g) .

С другой стороны cm (gv ) = cm (g) + cm (v) . Поэтому

cm (g ) + cm (v ) < cm ( f ) + cm (g ) Þ cm (v ) < cm ( f ) .

Используя эти ограничения на степени многочленов u,v , можно искать их методом неопределённых

коэффициентов.

u (x ) = a, v (x ) = bx + c .

Подставляем эти выражения в тождество, приводим обе

части тождества к стандартной форме и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменного.

(x2 +1)×a + (x + 2) × (bx + c ) = 1 Û

ì a + b = 0, Û (a + 2b) x2 + (2b + c ) x + (a + 2c ) = 1 Û ïí2b + c = 0, ïîa + 2c = 1.

После этого решаем систему.

a = -b, c = -2b, a + 2c = -b + 2(-2b) = 1 Þ

78

Þ b = - 15 Þ a = 15 , c = 52 .

Тождество Безу имеет вид

Если раскрыть скобки и привести подобные, то, естественно, всё кроме единицы сократится.

§4. Неприводимые многочлены

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой многочлен положительной степени f (x ) Î P [x] называется неприводимым над полем P

(простым элементом кольца P [x]), если он не имеет

нетривиальных делителей. В противном случае, он называется приводимым.

Многочлены нулевой степени и нулевой многочлен не являются ни приводимыми, ни неприводимыми.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если многочлен f (x ) имеет нетривиальный делитель d (x) , то согласно теореме о признаке

нетривиального делителя, многочлен раскладывается в произведение многочленов меньшей степени:

f (x ) = d (x )h (x ), cm (d), cm (h ) < cm ( f ) .

Кроме того, так как делители d и h являются нетривиальными, то они имеют положительную степень:

cm (d), cm (h ) > 0 .

ТЕОРЕМА (простейшие случаи неприводимости).

1) Многочлен первой степени всегда является неприводимым.

79

2)Если многочлен степени 2 или выше имеет корень, то он приводим.

3)Многочлен второй или третьей степени приводим тогда и только тогда, когда он имеет корень.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Если многочлен приводим, то он

раскладывается в произведение многочленов положительной степени:

f (x ) = d (x )h (x ), cm (d), cm (h ) > 0 .

Отсюда получаем, что

cm (d ), cm (h ) ³ 1, cm ( f ) = cm (d ) + cm (h ) ³ 2 .

В результате приводимый многочлен не может быть степени меньше 2. Следовательно, многочлен первой степени всегда неприводим.

2) Если ненулевой многочлен имеет корень c P , то по теореме Безу он делится на (x - c ) . Отсюда f (x ) = (x - c )h (x ) , причём cm (h ) = cm ( f ) -1 ³ 1 > 0 . В результате многочлен f (x )

разложился в произведение двух нетривиальных делителей (x - c ) и h (x) , т.е. является приводимым.

3) Пусть многочлен второй или третьей степени имеет

нетривиальное разложение

f (x ) = d (x )h (x ), cm (d), cm (h ) > 0 .

По свойству степени

cm ( f ) = cm (d) + cm (h ) = 2 или 3.

Очевидно, степень одного из сомножителей равна единице. А многочлен первой степени всегда имеет один корень, который будет и корнем исходного многочлена.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для многочлена четвёрной степени свойство, аналогичное 3), не верно, т.к., например, многочлен

80