Алгебра 3 семестр Лекцииi
.pdf= (ak + bk ) xk + (ak −1 + bk −1 )xk −1 + K + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) .
ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, чтобы вычислить сумму многочленов, достаточно записать два многочлена в виде суммы и привести подобные члены.
Произведением многочленов f (x ) и g (x ) называется
многочлен, |
который |
равен |
сумме |
всевозможных |
||||
произведений одночленов из f (x ) |
и g (x ) : |
|
|
|
||||
f (x )g (x ) = c |
n +m |
xn +m + c |
|
xn +m −1 |
+ K+ c x + c |
0 |
, |
|
|
|
|
n +m −1 |
1 |
|
где ci = a0bi + a1bi −1 + a2bi −2 + K + ai −1b1 + aib0 .
ЗАМЕЧАНИЕ. Запись вида (1) называется стандартной или канонической формой записи многочлена. Обычно при записи многочлена используются следуюшие соглашения.
1)Одночлены вида 0xi не записываются.
2)Одночлены вида 1xi записываются как xi .
3)Одночлены вида (−ai )xi записываются как −ai xi .
Если переменная x зафиксирована, то вместо f (x ) можно использовать сокращённую запись f .
ПРИМЕР. Найти сумму и произведение многочленов f (x ) = 2x3 + x2 − 3x +1, g (x ) = x2 − 2x −1.
Действуем согласно определению.
f (x ) + g (x ) = (2x3 + x2 − 3x + 1) + (x2 − 2x −1) =
= 2x3 + (1 + 1)x2 + (−3 − 2)x + (1 −1) = 2x3 + 2x2 − 5x . f (x )g (x ) = (2x3 + x2 − 3x +1)(x2 − 2x −1) =
61
= 2x5 + x4 - 3x3 + x2 - 4x4 - 2x3 + 6x2 - 2x -
-2x3 - x2 + 3x -1 = 2x5 - 3x4 - 7x3 + 6x2 + x -1.
Непосредственной проверкой доказывается
ТЕОРЕМА. Многочлены с коэффициентами из K образуют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей
K [x] .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО состоит в проверке всех аксиом.
ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем под многочленом подразумевается любой элемент кольца K [x] . Он не
обязательно записан в стандартной форме. Однако, если выполнить действия, раскрыть скобки и привести подобные члены, то стандартную форму всегда можно получить.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
Если f (x ) = a xn + a xn −1 + K+ a x + a |
0 |
|||
|
n |
n −1 |
1 |
|
|
и an ¹ 0 , то число n |
называется степенью многочлена |
f (x ) |
|||
и обозначается deg ( f ) или cm ( f ) . Коэффициент an |
в этом |
случае называется старшим коэффициентом.
Таким образом, степень многочлена – это наибольшая из степеней его ненулевых одночленов. Степень нулевого многочлена не определяется.
ТЕОРЕМА (свойства степени). 1) Степень суммы
многочленов не превосходит максимальной степени слагаемых, т.е. если f , g ¹ 0, f + g ¹ 0 , то
cm ( f + g) £ max (cm ( f ), cm (g)) .
2) Степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей, т.е. если f , g ¹ 0 , то
cm ( f × g) = cm ( f ) + cm (g) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) следует из определения суммы.
62
2) Пусть |
|
|
|
|
|
|
f (x ) = a xn + a |
xn −1 |
+ K+ a x + a |
0 |
, a ¹ 0 , |
||
n |
n −1 |
|
1 |
|
n |
|
g (x ) = b xm + b xm −1 |
+ K + b x + b , b ¹ 0 , |
|||||
m |
m −1 |
1 |
0 |
m |
тогда
f (x )g (x ) = anbm xn +m + (anbm −1 + an −1bm )xn +m −1 + K + a0b0 .
Так как кольцо не содержит делителей нуля, то anbm ¹ 0
и
cm ( f g ) = n + m = cm ( f ) + cm (g ) .
СЛЕДСТВИЕ. Если кольцо K не имеет делителей нуля, то кольцо K [x] также не имеет делителей нуля.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия anbm ¹ 0 следует, что f (x ) g (x) ¹ 0 .
Мы будем доказывать, что кольцо многочленов является евклидовым кольцом. Евклидовой нормой в нём будет степень. Для этого нужно выяснить, какие многочлены являются обратимыми, и проверить аксиомы евклидовой нормы.
ТЕОРЕМА (об обратимых элементах кольца многочленов).
Многочлен f (x ) Î K [x] обратим тогда и только тогда, когда
он является многочленом нулевой степени и обратим в
кольце K , т.е. f (x ) = a0 Î K . |
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |
f (x ) имеет обратный элемент, |
т.е. существует g (x ) Î K [x] |
такой, что f (x ) g (x ) = 1 . |
Вычисляя степень правой и левой части этого равенства и применяя свойство степени, получаем
cm ( f g ) = cm ( f ) + cm (g ) = 0 .
63
Отсюда следует, что cm ( f ) = cm (g ) = 0 , т.е. f , g Î K , Причём по условию они обратимы.
В обратную сторону теорема очевидна.
Докажем свойство делимости 7 ( = аксиома 1 евклидовой нормы).
7) Если f ¹ 0 и f Mg , то cm ( f ) ³ cm (g) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если f ¹ 0 , то и g ¹ 0 . По условию
f Mg , поэтому существует h (x ) Î K [x] такое, что f (x ) = g (x )h (x ) , причём h ¹ 0 .
Вычислим степень обеих частей неравенства и применим свойство степени.
cm ( f ) = cm (gh ) = cm (g) + cm (h ) ³ cm (g) .
Теорема о делении с остатком (аксиома 2 евклидовой нормы) будет доказана позднее, а пока дадим определение деления с остатком.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть даны многочлены f , g Î K [x] ,
причём g ¹ 0 . Разделить с остатком многочлен f (x ) на многочлен g (x ) , значит найти такие многочлены h, r Î K [x] ,
что
f (x ) = g (x )h (x ) + r (x ) ,
причём либо r = 0 , либо cm (r ) < cm (g) .
Свойства делимости 1)–6) также, очевидно, будут выполняться в кольце многочленов, и ими можно пользоваться.
ПРИМЕР. Определить, при каких a, b Î ¡ выполняется
соотношение
64
(x2 + ax + b)M(x +1) .
Для того, чтобы данное соотношение выполнялось, должен существовать такой h (x ) Î ¡[x] , что
(x2 + ax + b) = (x +1) × h (x ) .
Согласно свойствам степени cm (h (x )) = 1.
Воспользуемся так называемым методом неопределённых коэффициентов и будем искать h (x) в стандартной форме с неопределёнными коэффициентами:
h (x ) = cx + d .
Подставляем выражение для h (x) в равенство и приводим правую часть к стандартной форме.
x2 + ax + b = (x +1)(cx + d ) = cx2 + (c + d)x + d .
Согласно определению равенства многочленов, коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части должны совпадать. Приравниваем их и находим a, b .
ì 1 = ïía = c ïî b =
c, |
ìa = 1 + d, |
|
|
||
+ d, Û |
d |
– свободная переменная. |
|||
í |
b = d; |
||||
d. |
î |
|
|
||
|
|
|
|
§2. Многочлены как функции
Если вместо переменной x в многочлен подставить некоторый элемент c K и произвести вычисления, то получится некоторый элемент кольца K . Ввиду этого, многочлены можно рассматривать как функции из K в K и использовать для их изучения приёмы теории функций.
65
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f (x ) = a xn |
+ a xn −1 |
+ K+ a x + a |
0 |
|
n |
n −1 |
1 |
|
|
– некоторый многочлен. Значением |
f (x ) в |
точке |
c K |
|
называется элемент |
|
|
|
|
f (c ) = ancn + an −1cn −1 + K + a1c + a0 Î K .
Если f (c ) = 0 , |
то c называется корнем многочлена |
f (x ) . |
|
Нахождение корней – основная задача теории |
|
многочленов. |
|
ТЕОРЕМА (Безу). |
Для любого многочлена f (x ) Î K [x] и |
c K существуют и единственные h (x ) Î K [x], r Î K такие,
что
f (x ) = (x - c )h (x ) + r . |
(2) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если f (x ) Î K , то h (x ) = 0, r = f (x ) и
доказательство закончено. Пусть cm ( f ) = n ³ 1, тогда
f (x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0, an ¹ 0 .
Согласно свойству степени cm (h ) = n -1. Будем искать частное h (x) методом неопределённых коэффициентов.
h (x ) = bn −1xn −1 + bn −2xn −2 + K+ b1x + b0 ,
f(x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0 =
=(x - c )(bn −1xn −1 + bn −2xn −2 +K+ b1x + b0 ) + r =
=bn −1xn + (bn −2 - cbn −1 )xn −1 + (bn −3 - cbn −2 ) xn −2 + K
K + (b0 - cb1 ) x + (r - cb0 ) .
66
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и выражаем неизвестные коэффициенты bi и r .
ì |
|
an = bn −1, |
|||
ïa |
|
= b |
- cb |
||
ï |
n −1 |
|
n −2 |
n |
|
ïa |
|
= b |
- cb |
||
í |
n −2 |
|
n −3 |
n |
|
ï |
|
|
|
K |
|
ï |
|
a1 = b0 - cb1, |
|||
ï |
|
a |
|
= r - cb ; |
|
ï |
|
0 |
|||
î |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ì |
|
|
bn −1 = an , |
|
|
|||
−1 |
, |
|
ïb |
|
= a |
|
−1 |
+ cb , |
|
|||
|
|
|
ï |
n −2 |
n |
n −1 |
|
|
||||
−2 |
, |
Û |
ïb |
|
|
= a |
|
|
+ cb |
, |
(3) |
|
|
í n −3 |
n −2 |
n −2 |
|
||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
b0 = a1 + cb1, |
|
|
||||
|
|
|
|
ï |
|
r = a |
|
+ cb . |
|
|
||
|
|
|
|
ï |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
0 |
|
|
Полученная система легко решается: из первого уравнения находим bn −1 , подставляем его значение во второе
уравнение и находим bn −2 , подставляем полученное значение bn −2 в третье уравнение и находим bn −3 , и так до тех пор, пока не будут найдены все коэффициенты bi и r .
Тем самым доказано, что h (x ) Î K [x], r Î K ,
удовлетворяющие |
условию |
теоремы |
существуют |
и |
единственны, т.к. решение системы находится однозначно. |
|
|||
СЛЕДСТВИЯ. 1) r = f (c ) . |
|
|
|
|
2) Элемент |
c K является корнем |
f (x ) тогда |
и |
только тогда, когда f (x )M(x - c ) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Воспользуемся тем, что многочлен задаёт функцию и подставим c K в равенство (2).
f(c ) = (c - c ) ×h (c ) + r = r .
2)Если f (c ) = 0 , то
f (x ) = (x - c ) ×h (x ) + f (c ) = (x - c ) ×h (x )
и, следовательно, f (x )M(x - c ) . Если f (x )M(x - c ) , то f (x ) = (x - c ) ×h (x ) , и если подставить c в это равенство, то
67
f (c ) = (c - c ) ×h (c ) = 0 .
ЗАМЕЧАНИЕ. Система (3) решается "сверху-вниз", т.е. каждый коэффициент bi , начиная с bn −2 , вычисляется по
предыдущему коэффициенту, причём всякий раз по одной и той же схеме, которая называется схемой Горнера. Вычисления можно весьма компактно записывать в таблицу. Поясним это на примере ниже.
Схема Горнера, фактически, позволяет делить с остатком произвольный многочлен на многочлен вида (x - c ) .
Многочлен h (x) при этом является неполным частным, а r – остатком.
При помощи следствий можно вычислять значение многочлена, проверять делимость на многочлен первой
степени. |
|
|
ПРИМЕР. |
Вычислить при c = 2 |
значение многочлена |
f (x ) = 2x4 - 5x2 - 4x + 1. |
|
|
Запишем |
все коэффициенты |
f (x ) в таблицу, как |
показано ниже. При этом необходимо отметить, что в вычислениях участвуют все коэффициенты, включая те, которые равны нулю.
|
2 |
|
0 |
|
–5 |
|
–4 |
|
1 |
|
c = 2 |
2 |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Во вторую строку будем вписывать коэффициенты bi |
||||||||||
по мере их вычисления. |
Так |
как |
b3 = a4 = 2 , |
то число из |
первой клетки просто переносим вниз. Далее вычисления выполняются по принципу bi −1 = cbi + ai , т.е. чтобы заполнить
некоторую клетку второй строки, нужно взять число из клетки слева (там значение предшествующего коэффициента) умножить его на c = 2 и добавить число из клетки выше (там
68
соответствующее значение ai ). В последней клетке таблицы будет находиться r .
2 × 2 + 0 = 4, 2 × 4 - 5 = 3, 2 × 3 - 4 = 2, 2 × 2 +1 = 5 .
Важно правильно расшифровать результат, записанный в таблице. В верхней строке записаны коэффициенты многочлена f (x ) , в нижней – сначала коэффициенты
многочлена h (x) , а затем – число r . В виде равенства результат можно записать так:
2x4 - 5x2 - 4x +1 = (x - 2) × (2x3 + 4x2 + 3x + 2) + 5 .
Если раскрыть скобки в правой части равенства и привести подобные члены, то получится многочлен из левой части равенства (это доказано в теореме Безу).
ТЕОРЕМА (о количестве корней). |
Если K |
– |
кольцо без |
||
делителей нуля, |
то всякий ненулевой многочлен степени n в |
||||
кольце K [x] |
имеет не более n различных корней. |
|
|||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по степени n . |
Если n = 0 , |
||||
то многочлен |
f (x ) = a Î K, a ¹ 0 , |
имеет |
0 |
корней и, |
|
следовательно, утверждение теоремы выполняется. |
|||||
Пусть |
для |
некоторого n = k |
утверждение теоремы |
выполняется. Докажем, что оно выполняется также для многочлена f (x ) степени k +1 .
Если многочлен не имеет корней, то их количество
равно 0 £ k +1 и доказывать нечего. Пусть |
f (x ) |
имеет хотя |
бы один корень c K , тогда по теореме |
Безу |
многочлен |
делится на (x - c ) и, следовательно, |
|
|
f (x ) = (x - c )h (x ) . |
|
|
69
Докажем вспомогательное утверждение: элемент d ¹ c
является корнем f (x ) тогда и только тогда, когда d –
корень многочлена h (x) .
Действительно, если f (d) = 0 , то (d - c )h (d) = 0 . Так как d - c ¹ 0 , то, ввиду отсутствия делителей нуля, h (d) = 0 .
Обратно, если h (d) = 0 , то f (d) = (d - c )h (d) = (d - c ) × 0 = 0 .
В результате получилось, что корнями f (x ) будут все
корни h (x) |
и элемент c . По предположению многочлен h (x) |
|||
имеет £ k |
корней. Следовательно |
многочлен |
f (x ) будет |
|
иметь £ k +1 корней. |
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
СЛЕДСТВИЕ 1. Если многочлен вида |
|
|||
|
f (x ) = a xn + a xn −1 + K+ a x + a |
0 |
||
|
n |
n −1 |
1 |
имеет более чем n корней, то f = 0 .
Действительно, если an ¹ 0 , то получится противоречие с теоремой. Поэтому an = 0 . Аналогично доказываем, что
an −1 = 0, an −2 = 0, K, a1 = 0, a0 = 0 .
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякий ненулевой многочлен степени не
превосходящей n |
однозначно |
определяется своими |
||||
значениями в (n +1) точке. |
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что есть два |
||||||
многочлена |
|
|
|
|
|
|
f (x ) = a xn |
+ a xn −1 |
+ K+ a x + a |
0 |
и |
||
|
n |
n −1 |
|
1 |
|
|
g (x ) = b xn |
+ b |
xn −1 + K+ b x + b , |
||||
|
n |
n −1 |
|
1 |
0 |
|
70