Алгебра 3 семестр Лекцииi

= (ak + bk ) xk + (ak −1 + bk −1 )xk −1 + K + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, чтобы вычислить сумму многочленов, достаточно записать два многочлена в виде суммы и привести подобные члены.

Произведением многочленов f (x ) и g (x ) называется

где ci = a0bi + a1bi −1 + a2bi −2 + K + ai −1b1 + aib0 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Запись вида (1) называется стандартной или канонической формой записи многочлена. Обычно при записи многочлена используются следуюшие соглашения.

1)Одночлены вида 0xi не записываются.

2)Одночлены вида 1xi записываются как xi .

3)Одночлены вида (−ai )xi записываются как −ai xi .

Если переменная x зафиксирована, то вместо f (x ) можно использовать сокращённую запись f .

ПРИМЕР. Найти сумму и произведение многочленов f (x ) = 2x3 + x2 − 3x +1, g (x ) = x2 − 2x −1.

Действуем согласно определению.

f (x ) + g (x ) = (2x3 + x2 − 3x + 1) + (x2 − 2x −1) =

= 2x3 + (1 + 1)x2 + (−3 − 2)x + (1 −1) = 2x3 + 2x2 − 5x . f (x )g (x ) = (2x3 + x2 − 3x +1)(x2 − 2x −1) =

61

= 2x5 + x4 - 3x3 + x2 - 4x4 - 2x3 + 6x2 - 2x -

-2x3 - x2 + 3x -1 = 2x5 - 3x4 - 7x3 + 6x2 + x -1.

Непосредственной проверкой доказывается

ТЕОРЕМА. Многочлены с коэффициентами из K образуют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей

K [x] .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО состоит в проверке всех аксиом.

ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем под многочленом подразумевается любой элемент кольца K [x] . Он не

обязательно записан в стандартной форме. Однако, если выполнить действия, раскрыть скобки и привести подобные члены, то стандартную форму всегда можно получить.

случае называется старшим коэффициентом.

Таким образом, степень многочлена – это наибольшая из степеней его ненулевых одночленов. Степень нулевого многочлена не определяется.

ТЕОРЕМА (свойства степени). 1) Степень суммы

многочленов не превосходит максимальной степени слагаемых, т.е. если f , g ¹ 0, f + g ¹ 0 , то

cm ( f + g) £ max (cm ( f ), cm (g)) .

2) Степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей, т.е. если f , g ¹ 0 , то

cm ( f × g) = cm ( f ) + cm (g) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) следует из определения суммы.

62

тогда

f (x )g (x ) = anbm xn +m + (anbm −1 + an −1bm )xn +m −1 + K + a0b0 .

Так как кольцо не содержит делителей нуля, то anbm ¹ 0

и

cm ( f g ) = n + m = cm ( f ) + cm (g ) .

СЛЕДСТВИЕ. Если кольцо K не имеет делителей нуля, то кольцо K [x] также не имеет делителей нуля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия anbm ¹ 0 следует, что f (x ) g (x) ¹ 0 .

Мы будем доказывать, что кольцо многочленов является евклидовым кольцом. Евклидовой нормой в нём будет степень. Для этого нужно выяснить, какие многочлены являются обратимыми, и проверить аксиомы евклидовой нормы.

ТЕОРЕМА (об обратимых элементах кольца многочленов).

Многочлен f (x ) Î K [x] обратим тогда и только тогда, когда

он является многочленом нулевой степени и обратим в

Вычисляя степень правой и левой части этого равенства и применяя свойство степени, получаем

cm ( f g ) = cm ( f ) + cm (g ) = 0 .

63

Отсюда следует, что cm ( f ) = cm (g ) = 0 , т.е. f , g Î K , Причём по условию они обратимы.

В обратную сторону теорема очевидна.

Докажем свойство делимости 7 ( = аксиома 1 евклидовой нормы).

7) Если f ¹ 0 и f Mg , то cm ( f ) ³ cm (g) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если f ¹ 0 , то и g ¹ 0 . По условию

f Mg , поэтому существует h (x ) Î K [x] такое, что f (x ) = g (x )h (x ) , причём h ¹ 0 .

Вычислим степень обеих частей неравенства и применим свойство степени.

cm ( f ) = cm (gh ) = cm (g) + cm (h ) ³ cm (g) .

Теорема о делении с остатком (аксиома 2 евклидовой нормы) будет доказана позднее, а пока дадим определение деления с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть даны многочлены f , g Î K [x] ,

причём g ¹ 0 . Разделить с остатком многочлен f (x ) на многочлен g (x ) , значит найти такие многочлены h, r Î K [x] ,

что

f (x ) = g (x )h (x ) + r (x ) ,

причём либо r = 0 , либо cm (r ) < cm (g) .

Свойства делимости 1)–6) также, очевидно, будут выполняться в кольце многочленов, и ими можно пользоваться.

ПРИМЕР. Определить, при каких a, b Î ¡ выполняется

соотношение

64

(x2 + ax + b)M(x +1) .

Для того, чтобы данное соотношение выполнялось, должен существовать такой h (x ) Î ¡[x] , что

(x2 + ax + b) = (x +1) × h (x ) .

Согласно свойствам степени cm (h (x )) = 1.

Воспользуемся так называемым методом неопределённых коэффициентов и будем искать h (x) в стандартной форме с неопределёнными коэффициентами:

h (x ) = cx + d .

Подставляем выражение для h (x) в равенство и приводим правую часть к стандартной форме.

x2 + ax + b = (x +1)(cx + d ) = cx2 + (c + d)x + d .

Согласно определению равенства многочленов, коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части должны совпадать. Приравниваем их и находим a, b .

§2. Многочлены как функции

Если вместо переменной x в многочлен подставить некоторый элемент c K и произвести вычисления, то получится некоторый элемент кольца K . Ввиду этого, многочлены можно рассматривать как функции из K в K и использовать для их изучения приёмы теории функций.

65

f (c ) = ancn + an −1cn −1 + K + a1c + a0 Î K .

c K существуют и единственные h (x ) Î K [x], r Î K такие,

что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если f (x ) Î K , то h (x ) = 0, r = f (x ) и

доказательство закончено. Пусть cm ( f ) = n ³ 1, тогда

f (x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0, an ¹ 0 .

Согласно свойству степени cm (h ) = n -1. Будем искать частное h (x) методом неопределённых коэффициентов.

h (x ) = bn −1xn −1 + bn −2xn −2 + K+ b1x + b0 ,

f(x ) = an xn + an −1xn −1 + K+ a1x + a0 =

=(x - c )(bn −1xn −1 + bn −2xn −2 +K+ b1x + b0 ) + r =

=bn −1xn + (bn −2 - cbn −1 )xn −1 + (bn −3 - cbn −2 ) xn −2 + K

K + (b0 - cb1 ) x + (r - cb0 ) .

66

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и выражаем неизвестные коэффициенты bi и r .

Полученная система легко решается: из первого уравнения находим bn −1 , подставляем его значение во второе

уравнение и находим bn −2 , подставляем полученное значение bn −2 в третье уравнение и находим bn −3 , и так до тех пор, пока не будут найдены все коэффициенты bi и r .

Тем самым доказано, что h (x ) Î K [x], r Î K ,

только тогда, когда f (x )M(x - c ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Воспользуемся тем, что многочлен задаёт функцию и подставим c K в равенство (2).

f(c ) = (c - c ) ×h (c ) + r = r .

2)Если f (c ) = 0 , то

f (x ) = (x - c ) ×h (x ) + f (c ) = (x - c ) ×h (x )

и, следовательно, f (x )M(x - c ) . Если f (x )M(x - c ) , то f (x ) = (x - c ) ×h (x ) , и если подставить c в это равенство, то

67

f (c ) = (c - c ) ×h (c ) = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Система (3) решается "сверху-вниз", т.е. каждый коэффициент bi , начиная с bn −2 , вычисляется по

предыдущему коэффициенту, причём всякий раз по одной и той же схеме, которая называется схемой Горнера. Вычисления можно весьма компактно записывать в таблицу. Поясним это на примере ниже.

Схема Горнера, фактически, позволяет делить с остатком произвольный многочлен на многочлен вида (x - c ) .

Многочлен h (x) при этом является неполным частным, а r – остатком.

При помощи следствий можно вычислять значение многочлена, проверять делимость на многочлен первой

показано ниже. При этом необходимо отметить, что в вычислениях участвуют все коэффициенты, включая те, которые равны нулю.

первой клетки просто переносим вниз. Далее вычисления выполняются по принципу bi −1 = cbi + ai , т.е. чтобы заполнить

некоторую клетку второй строки, нужно взять число из клетки слева (там значение предшествующего коэффициента) умножить его на c = 2 и добавить число из клетки выше (там

68

соответствующее значение ai ). В последней клетке таблицы будет находиться r .

2 × 2 + 0 = 4, 2 × 4 - 5 = 3, 2 × 3 - 4 = 2, 2 × 2 +1 = 5 .

Важно правильно расшифровать результат, записанный в таблице. В верхней строке записаны коэффициенты многочлена f (x ) , в нижней – сначала коэффициенты

многочлена h (x) , а затем – число r . В виде равенства результат можно записать так:

2x4 - 5x2 - 4x +1 = (x - 2) × (2x3 + 4x2 + 3x + 2) + 5 .

Если раскрыть скобки в правой части равенства и привести подобные члены, то получится многочлен из левой части равенства (это доказано в теореме Безу).

выполняется. Докажем, что оно выполняется также для многочлена f (x ) степени k +1 .

Если многочлен не имеет корней, то их количество

69

Докажем вспомогательное утверждение: элемент d ¹ c

является корнем f (x ) тогда и только тогда, когда d –

корень многочлена h (x) .

Действительно, если f (d) = 0 , то (d - c )h (d) = 0 . Так как d - c ¹ 0 , то, ввиду отсутствия делителей нуля, h (d) = 0 .

Обратно, если h (d) = 0 , то f (d) = (d - c )h (d) = (d - c ) × 0 = 0 .

В результате получилось, что корнями f (x ) будут все

имеет более чем n корней, то f = 0 .

Действительно, если an ¹ 0 , то получится противоречие с теоремой. Поэтому an = 0 . Аналогично доказываем, что

an −1 = 0, an −2 = 0, K, a1 = 0, a0 = 0 .

СЛЕДСТВИЕ 2. Всякий ненулевой многочлен степени не

70