Алгебра 3 семестр Лекцииi

Начинаем поиск наименьшего делителя. Для этого перебираем все простые числа, меньшие 71981 < 269 , и проверяем, являются ли они делителями данного числа.

2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23,K < 269 ;

71981M2, 71981M3, 71981M5, 71981M7 ;

71981 = 7 ×10283 .

Если делитель найден, то вычисляем частное и повторяем данную процедуру для него. Проверку делимости можно начать с 7, т.к. уже проверено, что на 2, 3, 5 данное число не делится.

10283 < 102; 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23,K < 102 ;

10283M7; 10283 = 7 ×1469 ;

1469 < 39; 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37 < 39 ;

1469M7, 1469M13; 1469 = 13 ×113 ;

113 < 11 .

В этом месте алгоритм завершается, т.к. уже проверено, что число 113 не делится на простые числа, меньшие 113 , и, следовательно (следствие 2 выше), является простым.

ОТВЕТ: 71981 = 72 ×13 ×113 .

Разберём простейшие случаи применения канонического разложения.

21

Количество различных натуральных делителей числа n равно (α1 + 1) (α2 + 1) ×K× (αk + 1) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть d – делитель числа n и найдено

его каноническое разложение

d = qβ1qβ2 ×K× qβk ,

Правая, а, следовательно, и левая части этого равенства делятся на простые числа q1, q2,K, qs . По следствию из

свойства 1 простых чисел, каждое из чисел qi совпадает с одним из чисел pj , и равенство можно записать так:

n = pα1 pα2 ×K× pαk = pβ1 pβ2 ×K× pβk h

1 2 k 1 2 k

(недостающие простые сомножители берём в нулевой степени)

Чтобы подсчитать количество делителей обратим внимание, что делители отличаются друг от друга только набором степеней βi . Для каждой степени имеется (αi +1)

вариантов значений: 0,1,2,...,αi . Всего различных наборов

степеней будет (α1 +1)(α2 +1) ×...× (αk +1) . Это и есть количество различных натуральных делителей числа n .

ПРИМЕР. Найти все делители числа 71981.

Каноническое разложение этого числа было получено выше:

22

71981 = 72 ×13 ×113 .

По теореме это число имеет (2 +1)(1 +1)(1 +1) = 12

различных натуральных делителей. Пользуясь формулой, их все легко перечислить:

701301130 = 1, 711301130, 721301130 ,

701311130, 711311130, 721311130 ,

701301131, 711301131, 721301131 ,

701311131, 711311131, 721311131 = 71981.

Целых делителей будет в два раза больше, т.к. добавятся отрицательные делители.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для любых двух натуральных чисел n, m > 1

можно считать, что в их каноническое разложение входят одинаковые простые числа, т.к. недостающие числа можно всегда дописать в нулевой степени. Такие канонические разложения будем называть согласованными.

ПРИМЕР. 4732 = 22 × 7 ×132, 1287 = 32 ×11×13 .

4732 = 22 × 7 ×132 = 22 × 30 × 7 ×110 ×132 ,

1287 = 32 ×11×13 = 20 × 32 × 70 ×11×13 .

ТЕОРЕМА (формула для вычисления НОД). Пусть заданы два произвольных натуральных числа n, m > 1 и их

согласованные канонические разложения

n = pα1 pα2 ×K× pαk , m = pβ1 pβ2 ×K× pβk .

1 2 k 1 2 k

Пусть γi = min(αi , βi ) , тогда

23

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно формуле всякий делитель

является общим делителем чисел n и m и делится на любой их общий делитель.

Кроме наибольшего общего делителя часто возникает необходимость в наименьшем общем кратном.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число K называется наименьшим общим кратным чисел n и m , если оно является их общим кратным

илюбое другое их общее кратное делится на него, т.е. если

1)K Mn, K Mm ,

2)"k ((k Mn, k Mm) Þ k MK ) .

Если наименьшее общее кратное существует, то, как и в случае с наибольшим общим делителем, их будет ровно два: равных по абсолютной величине и отличающихся знаком.

При помощи НОК будем обозначать неотрицательное наименьшее общее кратное.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для любого числа n НОК(n, 0) = 0 , т.к. единственным кратным числа 0 является 0. НОК(n,1) = n . В

остальных случаях можно воспользоваться следующей

ТЕОРЕМОЙ (о формулах для вычисления НОК). 1) Пусть заданы два произвольных натуральных числа n, m > 1 и их

согласованные канонические разложения

n = pα1 pα2 ×K× pαk , m = pβ1 pβ2 ×K× pβk .

1 2 k 1 2 k

Пусть γi = max (αi , βi ) , тогда

24

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Кратное числа n имеет вид

ps1 ps2 ×K× psk h ,

1 2 k

где si ³ αi , h – произвольное целое число.

Общее кратное чисел n, m будет иметь вид

pγ1 pγ2 ×K× pγk h ,

1 2 k

где h – произвольное целое число.

Число K = pγ1 pγ2 ×K× pγk будет удовлетворять всем

1 2 k

условиям определения НОК(n, m) .

2) Пусть γi = max (αi , βi ), δi = min(αi , βi ) . Так как из любых двух чисел одно будет максимальным, а другое – минимальным, то {αi , βi } = {γi , δi } . Из этого следует, что

= НОД(n, m) × НОК(n, m) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Вторая часть теоремы даёт другой способ вычисления НОК:

1) вычисляем по алгоритму Евклида НОД(n, m) ;

25

26

ТЕМА 2. ГРУППЫ. КОЛЬЦА. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

§1. Группы

Пусть дано конечное множество M = {1, 2, 3,K, n} .

Напомним, что подстановкой элементов множества M называется взаимно однозначное отображение α множества M на M . Подстановку удобно изображать в виде таблицы

вида

которая задаёт отображение элементов первой строки в находящиеся под ними элементы второй строки:

α (i ) = αi , αi Î M , 1 £ i £ n .

Такая форма записи называется канонической. В ней элементы первой строки расположены по возрастанию. Другие формы записи подстановки можно получить, переставляя произвольным образом столбцы. Очевидно, при перестановке столбцов таблицы, соответствующее ей отображение не меняется.

Обозначим Sn множество всех подстановок n -элементного множества M . Напомним, что композицией

(αβ )(i ) = β (α (i )), i Î M .

Как известно, композиция взаимно однозначных отображений множества M на M снова будет взаимно однозначным отображением множества M на M , поэтому

27

она будет двухместной операцией на множестве Sn , которую мы будем называть произведением подстановок.

ПРИМЕР. Найти αβ, βα, α3 для

Согласно определению, чтобы найти произведение αβ ,

нужно к каждому элементу множества M сначала применить α , а затем β :

i ® α (i ) ® β (α (i)) .

Выполняем это для каждого элемента (см. диаграмму

28

ТЕОРЕМА. Множество Sn относительно операции

умножения подстановок образует группу. При n ³ 3 эта группа не является коммутативной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Композиции отображений удовлетворяют свойству ассоциативности, т.к.

α (βγ )(i ) = (βγ )(α (i )) = γ (β (α (i))) ,

Каждая подстановка, как взаимно однозначное отображение, имеет обратное отображение, которое и будет обратной подстановкой:

очевидно, будет удовлетворять коммутативному закону.

29

двухэлементной группой и также будет коммутативной, т.к.

единичный элемент по определению можно переставлять с любым другим.

Если n ³ 3 , то рассмотрим подстановки

в которых все остальные элементы отображаются сами в себя.

Для этих подстановок коммутативность нарушается:

αβ ¹ βα , т.к.

αβ (1) = β (α (1)) = β (2) = 3 ,

βα (1) = α (β (1)) = α (1) = 2.

Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа Sn называется симметрической группой n -ной степени.

"Переворачиваем" подстановку, чтобы получить обратное отображение. Затем, для удобства, переставляем столбцы так, чтобы в первой строке числа шли по порядку.

Понятие подстановки очевидным образом обобщается на случай, когда множество M бесконечно. Симметрическую группу всех подстановок множества M будем обозначать

30