Advanced control engineering (S.R. Burns, 2001)
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# # |
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# # # $ |
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Unit circle on new scale
New scale |
–1 |
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–1 |
ω = 2.0 |
–0.6 |
–0.5 |
–0.4 |
–0.3 |
–0.2 |
Original scale
ω = 1.5
ω = 1.0
ω = 0.5
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0.1 |
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Im |
ω = 2.5 |
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–0.1 |
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0 |
0 |
Re 0.1 |
° |
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PM=50 |
–0.1 |
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–0.2
–0.3
–0.4
–0.5
–0.6
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# |
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# |
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$
G(s)H(s) = K
s(1+Ts) Im
Im
G(s)H(s) = K
(1+Ts)
Re
Re
(a) First-order type zero system |
(b) Second-order type one system |
Im
K |
Re |
G(s)H(s) = s2(1+Ts) |
(c)Third-order type two system
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# |
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# # |
$ |
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# # |
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$ |
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# # |
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30 |
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20 |
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System just unstable |
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10 |
(ii) |
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0 |
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GM = 6 dB |
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(dB) |
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(i) |
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–10 |
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Gain |
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–20 |
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–30 |
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–40 |
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–50 |
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10–1 |
100 |
101 |
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Frequency (rad/s) |
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(a) Bode Gain
–50
Phase (degrees)
–100
–150 |
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PM = 50° |
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–180 |
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–200 |
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–250 |
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|||
–300 |
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100 |
101 |
||||
10–1 |
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Frequency (rad/s)
(b) Bode Phase
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$ |
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||||
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C (jω)
R Mp
(M )
0
(dB) –3
Bandwidth
ωp |
ωB |
log ω (rad/s) |
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$ |
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# |
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$ |
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# # |
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# |
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# |
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$ |
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|
# |
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# |
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$ |
# |
|
$ |
|||
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|
|
|
|
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|
|
|
||
$ #
$
Im
A |
1+G(jω) |
|
–1 |
O |
|
|
|
G(jω)
|1+G(jω)|
|G(jω)|
|
|
B |
– C |
|
|
R |
(jω) |
|
|
|
C
1 Re
|
|
40 |
|
M contours |
0 dB |
Open-Loop Gain (dB)
30
20
10
0
0.25dB
0.5dB
1 dB |
–1 dB |
|
3 dB
–3 dB
6 dB
–6 dB
–10 |
|
|
|
–12 dB |
–20 |
|
|
|
–20 dB |
|
|
|
N contours |
|
–30 |
|
|
|
|
–40 |
|
|
|
–40 dB |
–360 |
–270 |
–180 |
–90 |
0 |
Open-Loop Phase (deg)
|
|
$ |
|
|
$ |
|
|
# # |
$
$
$
$
$
0 dB
|
30 |
|
|
|
0.25 dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
|
|
0.5 dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
1 dB |
|
|
|
ω = 0.1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 dB |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
ω = 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(db) |
10 |
|
3 dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 0.4 |
|
|
|
|
|||
Gain |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–3 dB |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 dB |
|
|
|
|
|
|
|
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|
Loop- |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
||
Open |
0 |
|
|
|
|
ω = 1.13 |
|
|
|
|
–6 dB |
|
|
GM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 1.63 |
|
|
|
|
|
|
||
|
–5 |
|
ω = 2.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωB = 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
–12 dB |
|
|
–10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 2.67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–150° |
–120° |
–90° |
|
–60° |
–30° –20° –10° |
|
||
|
–20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–20 dB |
|
–180 |
–160 |
–140 –120 |
–100 |
–80 |
–60 |
–40 |
–20 |
0 |
|||
|
–200 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Open-Loop Phase (deg) |
|
|
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