2.3.1. Паралельні площини

Площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що перетинаються,

однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються,

іншої площини.

На рис. 2.16а площини і / паралельні, тому що m║m/ і n ║ n/.

Приклад вирішення задачі на комплексному кресленні поданий на рис.

2.16,б.

Рис. 2.16

Приклад. Через точку A (рис. 2.16,б) потрібно провести площину /,

паралельну заданій площині (∆ KLM).∆

Вирішення. Проводимо через точку A дві прямі m і n, паралельні двом

будь-яким пересічним прямим, що перебувають у заданій площині, наприклад

сторонам трикутника KM і KL, відповідно. Пересічні прямі m і n задають

шукану площину /(m ∩n).

2.3.2. Перетин площин

Лінія перетину двох площин визначається:

1) двома точками, кожна з яких належить обом площинам;

2) однією точкою, що належить двом площинам, і відомим

напрямком лінії.

В обох випадках задача полягає в знаходженні точок, спільних для двох

площин. Задача на перетин двох площин називається другою позиційною

задачею. Вона може бути зведена до вирішення першої позиційної задачі,

розглянутої раніше, за одним з наступних варіантів:

32

Варіант 1. 1) В одній з площин, наприклад (рис. 2.17), вибирають дві

довільні прямі 12 і 34; 2) визначають точки M і K перетину цих прямих з іншою

площиною - ∆; точки M і K задають шукану пряму

Рис. 2.18

Рис. 2.17

Варіант 2. 1) Вибирають по одній прямій у кожній із заданих площин,

наприклад 12∈ ∆, а 34∈ (рис. 2.18); 2) визначають точки M і K перетину цих∈∈

прямих з відповідними площинами - M=12 ∩, K=34 ∩∆; точки M і K

визначають шукану пряму.

Розглянемо вирішення поставленої задачі на комплексному кресленні для

площин загального положення.

Рис. 2.19

Нехай дано площини (m ∩n) і ∆(a ║ b) загального положення (рис.

2.19). Проведемо в площини пряму 12 і побудуємо точку перетину її із

площиною ∆. Для цього в площині ∆побудуємо пряму 45, що конкурує з 12

відносно П1.

Прямі 12 і 45 задають горизонтально - проектуючу площину. У перетині

прямих 12 і 45 одержуємо точку K шуканої лінії перетину. Для побудови точки

M лінії перетину вводимо в площині пряму c, паралельну 12 і, яка проходить

33

через точку 3. Конкуруюча з нею й приналежна площині ∆є пряма t. У

перетині прямих t і d знаходимо точку M. Точки K і M визначають шукану

пряму.

Задача істотно спрощується, якщо одна з площин займає проектуюче

положення.

На рис. 2.20 площина (∆ABC) займає загальне положення, а площина ∆∆

(∆EFG) – горизонтально - проектуюче. Тому що шукана пряма належить обом∆

площинам, то на П1 її проекція буде збігатися з горизонтальним

слідом площини ∆. Фронтальна проекція

шуканої лінії визначена з умови

приналежності її площині Σ.

При погляді на площину П2 по

горизонтальній проекції видно, що

частина трикутника ABC перебуває

перед площиною ∆. Отже на П2

трикутник K2C2M2 є видимим. Він

виділений штрихуванням. Видимими на

П2 та відповідно виділені штрихуванням,

і трикутники площини на околицях

точок A2 і B2. Це пов'язане з тим, що

вони перебувають поза трикутником

EFG і ним не перекриваються при

погляді на П2.