2. Перша і друга позиційні задачі
Позиційні задачі - це задачі, в яких потрібно визначити положення фігури
щодо площин проекцій або взаємне положення фігур - їхню приналежність,
паралельність і перетин.
2.1. Взаємне положення прямої і площини
Взаємне положення прямої і площини визначається кількістю спільних
точок: а) якщо пряма має дві спільні точки із площиною, то вона належить цій
площині; б) якщо пряма має одну спільну точку із площиною, то пряма
перетинає площину; в) якщо точка перетину прямої із площиною вилучена в
нескінченність (невласна), то пряма і площина паралельні.
27
Пряма
паралельна площині, якщо вона паралельна
якій-небудь
прямій, що лежить у цій площині. Щоб побудувати таку пряму, треба в
площині задати пряму й паралельно
їй провести потрібну пряму.
Нехай площина задана трикутником
(∆ABC). Через точку E (рис. 2.11)∆
необхідно провести пряму EF, яка
паралельна площині . Для цього
через горизонтальну проекцію точки
Е(Е1) проведемогоризонтальну
проекцію E1F1 шуканої прямої
паралельно горизонтальній проекції
будь-якої прямої, що лежить у
площині , наприклад, прямій AB
(E1F1 ║ A1B1).
Через фронтальну проекцію E2 точки E паралельно AB проводимо
фронтальну проекцію E2F2 шуканої прямої EF (E2F2 ║ A2B2). Пряма EF
паралельна площині , заданої трикутником ABC.
Пряма буде також паралельна площині, якщо вона лежить у площині,
паралельній даній.
2.2. Побудова точки перетину прямої з площиною
Задача на побудову точки перетину прямої із площиною, названа
першою позиційною задачею, широко застосовується в нарисній геометрії.
Вона лежить в основі вирішення наступних задач:
• на перетин двох площин;
• перетин поверхні із площиною;
• перетин прямої з поверхнею;
• взаємний перетин поверхонь.
Побудувати точку перетину прямої з площиною - значить знайти
точку, що належить одночасно заданій прямій і площині.
2.2.1. Площина займає проектуюче положення
Якщо площина займає проектуюче положення (наприклад, вона
перпендикулярна до фронтальної площини проекцій, рис. 2.12), то фронтальна
проекція точки перетину повинна одночасно належати фронтальному сліду
площини й фронтальної проекції прямої, тобто бути в точці їхнього перетину.
28
Тому
спочатку визначається фронтальна
проекція M2 точки M (точка перетину
прямої EF із фронтально - проектуючою
площиною (∆ABC)),апотім її∆
горизонтальнапроекція.ТочкаM1
визначена з умови приналежності точки M
прямій EF.
Думаючи, що площина являє собою
непрозорийтрикутник,установимо
видимість проекцій відрізка прямої EF. На
П2 вся проекція відрізка прямої EF
видима, тому що він не закривається
трикутником. На П1 ділянку відрізка
прямої правіше M2 не бачимо, тому що він
перебуває нижче площини при погляді на
П1 .
2.2.2. Пряма займає проектуюче положення
На рис. 2.13 зображена площина загального положення P (∆ABC) і∆
горизонтально - проектуюча пряма EF, що перетинає площину в точці M.
Фронтальна проекція точки - точка M2 -
збігається з точками E2 і F2, тому що M
належитьпрямій.Дляпобудови
горизонтальної проекції шуканої точки
перетину проведемо через точку M у
площині P пряму (наприклад, KL).
Спочатку побудуємо її фронтальну
проекцію, а потім - горизонтальну. Точка
M є точкою перетину прямих EF і KL.
Тому що точка M одночасно лежить на
прямій EF і в площині P (KL ∈P), то вона
є точкою їхнього перетину. Для
встановлення видимості проекції прямої
на П1 вводимо конкуруючі точки 1 і 2.
Оскільки точка 2 далі віддалена від площини П1, то відносно П1 вона буде
видимою, а невидимою буде точка 1. Помітно, що точка 2 належить прямій EF.
Отже, в околиці точок 11≡1 до M1 проекція прямої буде видимою. Вище M1
проекція прямої буде невидимою. Невидима ділянка проекції прямої показана
штриховою лінією.
29
2.3.
Пряма
і площина займають загальне положення
Нехай дано площину і пряму AB (рис. 2.14, a). У загальному випадку
вони мають одну спільну точку. Ця точка, що належить прямій і площині, буде
належати і деякій прямій n цієї площини. Помітно, що в площині через точку
можна провести однопараметричну множину прямих - ∞1. Виділивши хоча б
одну з них, легко визначимо шукану точку. Отже, поставлена задача зводиться
до відшукання деякої прямої n, що належить заданій площині і яка перетинає
вихідну пряму AB.
Рис.2.14
Пряму n можна розглядати як проекцію прямої AB на задану площину
(у більш широкому змісті пряма n є відображенням прямої AB на площину ).
Для випадку лінійного проектування прямі n і AB належать одній площині і є
конкуруючими щодо площини . Останнє використаємо для визначення точки
перетину прямої і площини. Тоді алгоритм рішення поставленої задачі буде
наступним:
1) на заданій площині (∆CDE) проведемо проекції прямої KL (рис.∆
2.14,б), що конкурує із заданою прямою AB щодо площин і П2; спочатку
знаходимо K2L2, а потім K1L1; прямі KL і AB розташовані у фронтально -
проектуючій площині;
2) знаходимо точки M1= K1L1 ∩A1B1 і M2 ∈A2B2 перетину проекцій
прямих AB і KL; точка M(M1,M2) - шукана;
3) визначаємо видимість прямої і площини відносно площин проекцій.
Для визначення видимих ділянок прямої AB аналізуємо положення
конкуруючих точок мимобіжних прямих. Так, точки 1 і 2 перебувають на
мимобіжних прямих AB і DE: 1∈ DE, 2∈ AB. Їхні горизонтальні проекції 11 і 21
30
збігаються.
По фронтальних проекціях точок 1
і
2
при
погляді на площину П1
видно, що точка 1 (точка площини) перебуває над точкою 2 (точка прямої),
тобто вона закриває точку 2 при проектуванні на горизонтальну площину
проекцій. Отже, пряма AB на ділянці M-2 розташована під трикутником CDE.
Тоді горизонтальна проекція відрізка M2 - M121 буде невидимою. Вона
показана штриховою лінією.
Невидима ділянка на фронтальній проекції прямої AB установлена
аналізом положення точок 4 і 3 (4∈ CE, 3∈ AB), що належать мимобіжним
прямим AB і CE. По горизонтальній проекції видно, що якщо дивитися на
площину П2, то невидимою буде точка 3, що належить, прямій. Вона ближче
розташована до площини проекцій П2. На фронтальній площині проекцій точка
4 закриває точку 3. У цьому місці пряма AB закрита трикутником СDE.
На П2 невидиму ділянку M232 показано штриховою лінією.
Задача на перетин прямої і площини загального положення може бути
зведена до одного з окремих випадків, розглянутих вище. Для цього пряму або
площину потрібно перевести в проектуюче положення.. Нижче наведене
Рис. 2.15
рішення (рис. 2.15), в якому методом заміни площин проекцій у проектуюче
положення переведена площина трикутника CDE. На П4 визначена проекція M4
шуканої точки, а потім по лініях зв'язку встановлені проекції точки і на
вихідних площинах проекцій. Вихідні дані взяті такими ж, що й у попередній
задачі. Тому встановлення видимості проекцій прямої тут не розглядається.
31