2. Визначення кутів між фігурами
Фігури простору: прямі лінії, площини, прямі й площини можуть
утворювати між собою кути - геометричні фігури з відповідним цим фігурам
величинами. Розглянемо найбільш поширені випадки, що часто зустрічаються в
нарисній геометрії.
2.1. Кути між прямими
Наведемо відомі зі шкільного курсу стереометрії поняття і визначення,
необхідні для вирішення наступних метричних задач:
57
1)
плоский
кут -
фігура,
утворена двома променями із загальним
початком і однієї із плоских областей, обмеженої ними;
2) кут між пересічними прямими - величина найменшого з плоских кутів,
утворених цими прямими;
3) кут між мимобіжними прямими - це кут між пересічними прямими,
паралельними даним мимобіжним прямим.
В останньому визначенні величина кута між двома мимобіжними
прямими не залежить від вибору пари пересічних прямих, паралельних їм.
Розглянемо кілька задач на визначення кутів.
Задача. Дано пересічні відрізки АВ і АС (рис. 5.10). Визначити кут між
ними.
Оскільки шуканий кут є плоскою
фігурою,товирішеннязадачі
зводиться до визначення НВ плоскої
фігури.Їїпроекційнерішення
викладене в п. 1.
Нагадаємо алгоритм цього рішення.
Він заснований на методі заміни
площин проекцій і стосовно до умов
даної задачі може бути наступним:
1) будуємо лінію рівня, наприклад,
h(h1,h2), що належить площині
Σ(АВ, АС), при цьому h2║х;
Рис. 5.102) будуємо вісь проекції x1⊥h1 ,
що відповідає введенню у просторі
нової системи площин проекцій П1⊥П4, де П4 ⊥h;
3) на П4 будуємо вироджену проекцію В4С4 площини Σ;
4) будуємо вісь проекції x2║В4С4 , що відповідає введенню у просторі
нової системи площин проекцій П4⊥П5, де П5║Σ;
5) на П5 будуємо кут ⋅(А5С5, А5В5) = α, що і є шуканим.
Задача. Дано дві мимобіжні прямі АВ і CD (рис. 5.11). Визначити кут
між ними.
Рішення задачі виконаємо, опираючись на
визначеннякутаміжмимобіжними
прямими, наведене вище, а також з огляду
наалгоритмпроекційногорішення
попередньої задачі. Для цих цілей
перемістимо одну з прямих, наприклад DC,
у положення, коли вона, залишаючись
паралельною сама до себе, буде перетинати
іншу пряму АВ. Таких положень існує
незліченна множина. Одне з них, наприклад
D1C1(D11C11, D21C21), де D11С11║D1С1 ,
D21С21 = D2C2, показане на КК
Рис. 5.11
58
(див.
рис.
5.11).
У підсумку одержуємо пару пересічних прямих АВ ∩ D1С1, кут між якими
може бути визначений на підставі вищенаведеного алгоритму.
Цю частину вирішення задачі рекомендуємо виконати самостійно.
Розглянемо ще одне проекційне вирішення даної задачі. Зміст його
полягає в побудові такої додаткової площини проекцій, на якій ортогональні
проекції заданих мимобіжних прямих є пересічні прямі, відповідно паралельні
цим мимобіжним прямим. Кут між такими ортогональними проекціями є
шуканим. Зазначена площина проекцій перпендикулярна до прямої
найкоротшої відстані між заданими мимобіжними прямими.
Задача. Дано мимобіжні прямі АВ і CD. Визначити кут між ними
(рис. 5.12).
Проекційне вирішення цієї задачі,
відповідно до запропонованої вище
схеми, буде наступним:
1) будуємо вісь проекції x1║C1D1 (x1
можна будувати паралельно кожної із
чотирьох ортогональних проекцій прямих
АВ і CD), що разом із площинами П1⊥П4
утворить нову систему площин проекцій,
таку, що П4║CD;
2) на П4 будуємо додаткові проекції
А4В4, C4D4 прямих АВ і CD, при цьому
C4D4 є НВ відрізка CD;
3) будуємо вісь проекції x2 ⊥C4D4, що
разом з П4⊥П5 утворить нову систему
площин проекцій, таку, що П5 ⊥CD;
4) на П5 будуємо додаткові проекції
А5В5 і C5 = D5 прямих АВ і CD;
5) будуємо вісь проекції x3║А5В5 , що
разом з П5⊥П6 утворить нову систему
площин проекцій, таку, що П6║AB;
6) на П6 будуємо додаткові проекції
А6В6 і C6D6, що представляють собою НВ
прямих АВ і CD, які утворюють між
Рис. 5.12
собою кут α , що і є рішенням задачі.