Кратні і криволінійні інтеграли

§1 Подвійний інтеграл

1. Поняття подвійного інтеграла.

Нехай функція f(x,y) завдана на прямокутнику D: a x b, c y d.

d

Dij

c

Xi-1 Xi

a b

Розіб`ємо відрізок [a,b] точками x =a+ i, на n відрізків [x ; x ], i=0,n довжини x = , а відрізок [с,d], точками [y ; y ], , довжини у = . Таким чином прямокутник D розіб’ється на n прямокутників D , площа будь-якого з них x y . Складемо інтегральну суму

(1) ( ,t ) x у , де ( ,t )- деяка точка прямокутника Dij.

Якщо розглянемо границю виразу (1) коли n , то отримаємо вираз

(2) ( ,t ) x у = dx dy.

О зн.1 Подвійним інтегралом функції f(x,y) називається границя

інтегральних сум по області D. (Вир.2)

Зауваження: інколи вираз dxdy пишуть як ds

Т еор.1 Якщо подвійні інтеграли від функцій f(x,y) і g(x,y) по

п рямокутнику D існують, то для будь-яких чисел А і В виконується рівність

(3) dx dy=A dxdy+ B dxdy+B

Дов. : Згідно з Озн.1 і властивостями границь послідовностей маємо:

dx dy= ( ,t ) +Bg( ,t ))

x у =A ( ,t ) x у +B ( ,t ) x у

=A dxdy+B dxdy

Щ.п.д.

Теор.2 Якщо функція f(x,y), x D, a x b, c y d неперервна, але вона

і нтегруєма у D.

(4) dxdy= ( dx

Дов. : Розіб’ємо відрізок [a,b] точками x на n рівних по довжині частин:

[x x ], тоді ( dx= ( dx

За теоремою про середнє для інтегралів існує , таке,

що ( dx= .

Аналогічно розіб’ємо і отримаємо: ( за теоремою про середнє існує таке, що = після чого (

Знайдемо границю, коли і отримаємо рівність (4)

Зауваження : Формула (4) – є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного.

Таким чином:

( 5) dxdy=

2. Подвійний інтеграл за будь-якою областю D

Нехай дана у де якій обмеженій області G на координатній площині .

Y

D

G

C

0 X

U B

Позначимо через D найменший прямокутник зі сторонами, паралельними вісям. Розглянемо яка співпадає з в т. за означенням

За означенням (6) dxdy= dxdy

Розглянемо випадок, коли G обмежена зліва та справа відрізками ,

а знизу та зверху графіками неперервних функцій тобто G: , тоді

7. dxdy=

Y2

G

Y1

a b

Аналогічно розглянемо подвійний інтеграл , коли G обмежена ,

а =

D

G

C

Y1 Y2

a b

Приклад : Обчислимо , де

Відповідь :

3 Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Нехай потрібно обчислити та взаємно однозначні функції.

V

G `

M `

U

Y

G

M

X

Координати називаються криволінійними координатами т.М, таким чином:

8. = , де

- визначник Острограцького (Якобіан перетворення).

Коли х і у мають неперервні частинні похідні 1-го порядку по u та v,

то між елементами площі на площині ХОУ та на площині UOV існує зв‘язок , його геометричний зміст розглянемо, коли в площині UOV завдано прямокутник.

V

DV

DU U

Y

V+DV=const

V=const

0 X

Цей прямокутник за допомогою перетворення переходить в деяку криволінійну фігуру на площині ХОУ. Цю фігуру при малих du та dv можна вважати паралелограмом і тоді площа ії .

З другого боку, dudv - це площа елементарного прямокутника на площині UOV т.ч. є коефіцієнтом, що враховує зміну форми елементарного прямокутника при переході від декартових до криволінійних координат. Тому його часто називають коефіцієнт спотворення форм.

Досить поширеними криволінійними координатами є полярні.

О зн. Полярними координатами на площині називається пара чисел ( ) де - віддаль від точки до полюса, а - кут між радіусом- вектором точки та полярною віссю.

Y

S



0 X

cos

sin

Знайдемо перетворення Якобіану:

= =

Т.ч. (9)

Приклад: Переходячи до полярних координат обчислити:

D: частина кола R=1 C(0,0)

dxdy= =

1

0 1