§2. Геометричні застосуваання.

1.Площа області.

2. Об’єм циліндричного тіла

V=

Приклад: 1. Знайти S області обмеженою лініями x=2, x=1,

S=

0 1 2

2. Знайти V області обмеженою лініями x=1, y=x, y=3x, z=0

Z= V=

§3. Застосування подвійного інтеграла у фізиці.

1.Маса пластини.

- щільність(густина)

2. Статичні моменти.

3.Координати центра ваги

;

4. Момент інерції пластини

§4 Потрійний інтеграл.

1.Поняття потрійного інтегралу.

Розглянемо функцію завдану паралелепіпедом

Н а вісях x,y,z розіб‘ємо ці відрізки точками на n-рівних за довжиною відрізками. Y

0 A2 B2

B1

X

A1

Z

Складемо інтегральну суму , де

Якщо вона має границю, коли , яка не залежить від вибору

по області V, то вона називається потрійним інтегралом і позначається (1)

Аналогічно подвійному інтегралу отримаємо співвідношення:

Приклад:

Відповідь: . Розглянемо обмежену замкнену область V будь-якої форми, де інтегруєма. Z

0 Y

D

X

I

Проекція області V на ХОУ є Д. Нехай прямі OZ перетинають границю області V не більше ніж у двох точках. Тоді на поверхні, обмежуючій область V можна виділити нижню та верхню частину. Рівняння ниж. , а верх. тоді, якщо існує інтеграл , тоді

Аналогічні формули отримаємо, коли розглянемо проекції V на .

2.Геометричні та фізичні застосування потрійного інтегралу

(1) - об‘єм паралелограму

(2) - маса в об‘ємі V, густина

(3) I момент інерції тіла відносно будь-якої вісі l. I(х,у,z) –відстань від точок тіла V до осі l.

Зауваження Якщо l співпадає з віссю , то ця координата =0, наприклад l=OZ.

I

Статичні моменти тіла V з зміною гус

(4) тиною відносно координатної площини

(5) ; ; - центр ваги (мас) тіла V у сист.OXYZ.

Приклад : ?

Відповідь:

3.Перехід до циліндричних та сферичних координат.

При обчисленні потрійного інтегралу треба перейти до інших криволінійних координат.

Нехай - функції означені в просторі OXYZ, або в будь-якій області V і мають неперервні частинні похідні вV. При тому нехай є рішення , тоді кожна точка з області V буде взаємно однозначно мати трійку чисел (u,v,w) які мають назву криволінійних координат цієї точки.

, область змінювання криволінійних координат u,v,w відповідаючих області V, а I – Якобіан перетворення.

- циліндричні координати

< , - <z<+

, де ;

сферичні координати

Z

M

0 Y

X

Приклад : 1) Обчислити

П ерейти до Z

циліндричних

координат

Y

0

2

X

2) ;

< <2 ; 0< < ; 0<r<cos

1/2

0

Тоді

=…