1. Взаємне положення точок і прямих, їхня

ПРИНАЛЕЖНІСТЬ ПЛОЩИНІ.

1.1. Взаємне положення точки й прямої. Ділення відрізка прямої в

даному відношенні

Точка може належати прямій і може не належати прямій. Нехай точка A

належить прямій e (A ∈e). При проектуванні прямої і точки на площину П1

одержимо, що горизонтальна проекція

точки належить горизонтальній проекції

прямої A1 ∈e1. Аналогічно і при

проектуванні на П2 - A2 ∈e2.

Таким чином, якщо точка належить

прямій, те її проекції належать

однойменнимпроекціямпрямої.

Справедливо і зворотне твердження: якщо

проекції точки належать однойменним

проекціям прямої, то точка належить

прямій. На рис. 2.1 точка A належить

прямій e, а інші точки не належать прямій

e.

Для визначення приналежності точки профільній прямій необхідні профільні

проекції точки й прямої.

При проектуванні відрізка AB на П1

одержимо відрізок A1B1, при проектуванні

на П2 - A2B2. На рис. 2.2 показане

комплексне креслення відрізка AB.

Оскільки відношення довжин відрізків,

що лежать на одній прямій, при

проектуванні не міняється, то для ділення

відрізка в даному відношенні досить

розділити щодо цього одну проекцію

відрізка, і це повністю визначить точку

ділення. На рис. 2.2 показана побудова

точки C, що ділить відрізок AB у

відношенні │AC│ : │CB│ = 3:2. На основі теореми Фалеса у відношенні 3:2

ділимо горизонтальну проекцію відрізка, тобто │A1C1│: │C1 B1│= 3:2. Так

знаходимо точку C1. Потім по лінії проекційного зв'язку знаходимо C2.

23

Точка C2 ділить фронтальну проекцію відрізка в тому ж відношенні

│A2C2│ : │C2 B2│ = 3:2 (за теоремою Фалеса, тому що лінії проекційного

зв'язку всіх точок паралельні). На рис. 2.2 послідовність побудов показана

стрілкою на лінії проекційного зв'язку - спочатку будується C1, а потім C2.

1.2. Взаємне положення прямих

У просторі дві прямі можуть збігатися, перетинатися, бути

паралельними, мимобіжними.

У прямих, що збіглися, всі точки збігаються, тому ці прямі матимуть

однойменні проекції, що збіглися. По суті, це одна пряма, позначена

по-різному.

Рис.2.3Рис.2.4Рис.2.5

Пересічні прямі мають одну загальну точку. Нехай прямі загального

положення a і b перетинаються в точці K (a ∩b = K). Пересічні прямі в

загальному випадку проектуються в пересічні прямі. Точка K - реально існуюча

точка, і її проекції перебувають на лінії проекційного зв'язку (K1K2),

перпендикулярної осі X (рис. 2.3).

Паралельні прямі розташовані в одній площині і не мають загальних

точок. Паралельні прямі в загальному випадку проектуються в паралельні прямі

(п'ята властивість ортогонального проектування). На рис. 2.4показане

комплексне креслення паралельних прямих e і m. При проектуванні цих прямих

на П1 одержимо e1 ║ m1, при проектуванні на П2 – e2 ║ m2.

Прямі, що не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

Ці прямі не паралельні і не перетинаються. Приклад комплексного креслення

мимобіжних прямих n і b показаний на рис. 3.5 (n b). Горизонтальні й

фронтальні проекції цих прямих перетинаються. Але точки їхнього перетину не

лежать на одній лінії проекційного зв'язку. У точці перетину горизонтальних

проекцій збіглися проекції двох точок 1 ≡n і 2 ≡b. Це горизонтально

конкуруючі точки. Координати X і Y цих точок рівні, а координата Z точки 1

24

більше, ніж Z точки 2. У точки перетину фронтальних проекцій цих прямих

збіглися проекції двох точок 3 ≡n і 4 ≡b. Це фронтально конкуруючі точки.

Координати X і Z цих точок рівні, а координата Y точки 4 більше, ніж y точки

3. Мимобіжні прямі можуть проектуватися на одну площину проекцій у

паралельні прямі, а на іншу площину проекцій – у пересічні прямі.

Якщо хоча б одна з прямих є профільною прямою, то для визначення

взаємного положення прямих потрібно побудувати профільні проекції цих

прямих.

При розгляді комплексних креслень будь-яких фігур необхідно подумки

представляти ці фігури в просторі і їхнє положення щодо площин проекцій.