Алгоритм и расчетные формулы для k-го шага прямого хода метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах
Определение главного элемента в k-м столбце, то есть вычисление числа М и номера строки p таких, что
.
(3.2.4)
Элемент
в этом случае называетсяглавным
элементом
в k-м
столбце.
Если
,
то производится обмен значениями
элементов (перестановка)k-й
и p-й
строк расширенной матрицы:
,
;
(3.2.5)
Теперь
.
Обмен значениями для элементов с номерами
проводить нет смысла, поскольку в обеих
строках эти элементы имеют равные
нулевые значения.
Приближенная проверка невырожденности матрицы системы. Если
,
то следует выдать сигнал о том, что
матрица системы близка к вырожденной
и закончить решение системы. Здесь
– заданное маленькое положительное
число, например
.
При выполнении условия
модули всех
при
также будут меньше
и определитель матрицы системы будет
близок к нулю.Деление k-й строки расширенной матрицы на
:
,
.
(3.2.6)
.
(3.2.7)
При этом
величина
(см. табл. 3.1). Формулу (3.2.6) для
можно не применять. В самом деле, элементы
и, следовательно
.
Таким образом, после этих вычислений
значения величин
при
фактически не изменяются и их можно не
трогать.
Преобразования строк с номерами
.
Изi-й
строки расширенной матрицы системы
вычитается k-я
строка, умноженная на
:
,
,
,
(3.2.8)
,
.
(3.2.9)
При
этом для
,
величины
(см. табл. 3.1). Формулу (3.2.8) для
,
можно не применять. В самом деле,
,
,
поэтому
=0.
Таким образом, после этих вычислений
значения величин
при
,
фактически не изменяются и их можно не
трогать. На этом алгоритмk-го
шага прямого хода метода Гаусса
завершается.
В результате k-го шага прямого хода расширенная матрица системы примет следующий вид:
Таблица 3.2
|
i j |
1 |
2 |
3 |
… |
k-1 |
k |
k+1 |
... |
n |
|
|
1 |
1 |
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
k-1 |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
... |
|
|
|
k |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
... |
|
|
|
k+1 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
|
n |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
... |
|
|
После завершения (n-1) шага прямого хода матрица системы становится верхней треугольной:
Таблица 3.3
|
i j |
1 |
2 |
3 |
… |
n-2 |
n-1 |
n |
|
|
1 |
1 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
… |
… |
... |
... |
|
n-2 |
0 |
0 |
0 |
… |
1 |
|
|
|
|
n-1 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
|
|
n |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
