3.1.Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений

Оказывается, что решения различных систем линейных алгебраических уравнений обладают разной чувствительностью к погрешностям входных данных. Задача вычисления решения х системы уравнений

(3.1.1)

может быть как хорошо, так и плохо обусловленной.

Исследование обусловленности задачи начнем со случая, когда коэффициенты матрицы А считаются заданными точно, а вектор-столбец правой части – приближенно.

Лемма. Для погрешности приближенного решения системы (3.1.1) справедлива оценка

,

(3.1.2)

где – вектор невязки, отвечающий.

Для доказательства достаточно взять норму левой и правой частей равенства

и воспользоваться свойством нормы матрицы .

Теорема 1. Пусть  точное решение системы , в которой правая частьявляется приближением к.Тогда верны оценки абсолютной и относительной погрешностей

	(3.1.3)
	(3.1.4)

где – абсолютное число обусловленности,

–естественное число обусловленности.

В рассматриваемом случае и неравенство (3.1.2) принимает вид (3.1.3). Разделив обе части неравенства (3.1.3) наи записав его в виде

,

приходим к оценке (3.1.4).

Величина для задачи (3.1.1) играет роль абсолютного числа обусловленности.

Величина называетсяестественным числом обусловленности. Она зависит от конкретного решения х и характеризует коэффициент возможного возрастания относительной погрешности этого решения, вызванного погрешностью задания правой части. Это означает, что для задачи вычисления решениях системы (3.1.1) играет роль относительного числа обусловленности.

Полученные в теореме 1 оценки точны в том смысле, что для системы с произвольной невырожденной матрицейи любой заданной правой частьюнайдется сколь угодно близкий кприближенно заданный вектор, для которого неравенства (3.1.3) и (3.1.4) превращаются в равенства.

Вычислим максимальное значение естественного числа обусловленности, используя определение нормы матрицы:

(3.1.5)

Полученную величину принято называть стандартным числом обусловленности (или просто числом обусловленности) матрицы А и обозначать через или. Таким образом,

(3.1.6)

Сформулируем важное следствие из теоремы 1.

В условиях теоремы 1 справедлива оценка

.

(3.1.7)

Для ее доказательства достаточно воспользоваться оценкой (3.1.4) и заметить, что в силу определения (3.1.5) верно неравенство .

Оценка (3.1.7) точна в том смысле, что для системы (3.1.1) с произвольной невырожденной матрицей А найдутся правая часть (и отвечающее этой правой части решениех) и сколь угодно близкий к b приближенно заданный вектор такие, что неравенство (3.1.7) превращается в равенство.

Величина является широко используемой количественной мерой обусловленности системы. В частности, систему и матрицуА принято называть плохо обусловленными, если . В силу оценки (3.1.7) и последнего замечания для такой системы существуют решения, обладающие чрезвычайно высокой чувствительностью к малым погрешностям задания входного данногоb. Тем не менее отметим, что не для всякого решения х коэффициент роста относительной ошибки достигает значений, близких к максимально возможному значению.

Отметим свойства числа обусловленности:

1. Для единичной матрицы . Пользуясь тем, чтои, получим.

2. Справедливо неравенство . Из равенства, свойства норм матриц и равенстваследует, что.

3. Число обусловленности матрицы А не меняется при умножении матрицы на произвольное число . Отметим, что. Поэтому

.

Величина зависит от выбора нормы векторов в пространстве. Фактически это есть зависимость максимального коэффициента роста ошибки от способа измерения величины входных данных и решения. В частности, выбору нормыотвечает.

Теорема 2. Пусть – точное решение системыс приближенно заданной матрицей. Тогда верна оценка относительной погрешности

,

(3.1.8)

где .

В данном случае невязка r имеет вид . Применяя неравенство (3.1.2), получим цепочку неравенств

В условиях теоремы 2справедливо приближенное неравенство

(3.1.9)

В случае, когда с погрешностью заданы как правая часть системы, так и матрица (т. е. является решением системы), причем, можно доказать справедливость неравенства.

Распространенным является представление о том, что по величине определителя матрицы А можно судить о степени близости системы уравнений к вырожденной или об обусловленности системы. Для того чтобы убедиться в ошибочности этого мнения, умножим каждое из уравнений системы (3.1.1) на постоянную . Ясно, что такое преобразование никак не меняет решение системы и его чувствительность к малым относительным ошибкам в данных. Однако определитель умножается на число, и поэтому с помощью выбораможет быть сделан как угодно большим или малым. Подчеркнем, что число обусловленностипри таком преобразовании системы не меняется в силу свойства 3.

Вычисление чисел обусловленности инепосредственно по указанным формулам предполагает предварительное вычисление обратной матрицы. Вследствие большой трудоемкости этой операции на практике избегают такого способа вычисления. При этом важно отметить, что в большинстве случаев достаточно лишь грубой оценки числа обусловленности с точностью до порядка. С эффективными методами, дающими оценки величини, можно познакомиться в [48], [64].

Проверить чувствительность решения системы к погрешностям можно и экспериментально. Для этого достаточно решить задачу несколько раз с несколькими близкими кb правыми частями . Можно ожидать, что величинадаст оценку значения. Во всяком случае эта величина дает оценку снизу, так как.