§ 3.5. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость

Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в таблице 5.

Таблица 5

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
1	Канонические уравнения прямой	(x0,y0,z0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой	Вектор называетсянаправля-ющим вектором прямой
2	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) – координаты двух заданных точек	Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости
3	Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей	- уравнение одной плоскости; - уравнение второй плоскости	Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

l₁:

l₂: .

Угол между прямыми определяется как .

Условие перпендикулярности прямых:

=0.

Условие параллельности прямых:

.

Пусть плоскость  задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями ,тогда угол между прямой и плоскостью определяется как

.

Условие параллельности прямой и плоскости Аm+Bn+Cp=0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

_____________

3.5.1. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М₀(-1;0;5).

Ответ: .

3.5.2. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4х-у+2z-3=0.

Ответ: .

3.5.3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-3;-4) параллельно прямой: .

Ответ: .

3.5.4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;1;-1) перпендикулярно плоскости х-у+z+1=0.

Ответ: .

3.5.5. Найти угол между прямыми:

и .

Ответ: /3.

3.5.6. Доказать, что прямые и параллельны.

3.5.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и.

Ответ: 3х-2у-3=0.

3.5.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1;-2;3) и прямую: .

Ответ: 7х+5у-9z+30=0.

3.5.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+3у-z+1=0.

Ответ: 6х-5у+3z-11=0.

3.5.10. Найти точку пересечения с плоскостью 2х+3у-2z+2=0.

Ответ: (3;2;7).

3.5.11. Найти угол между прямой и плоскостью 6х-3у+2z=0.

Ответ: .

________________

3.5.12. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(-1;2;3) и В(2;6;-2). Найти ее направляющие косинусы.

Ответ:

.

3.5.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0) параллельно прямой .

Ответ: .

3.5.14. Найти угол между прямыми и.

Ответ: .

3.5.15. Найти расстояние между прямыми и.

Ответ: .

3.5.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3;4;0).

Ответ: х-2у+z+5=0.

3.5.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2х+3у-z=4.

Ответ: 8х-5у+z-11=0.

3.5.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и.

Ответ: х+2у-2z=1.