Прежде, чем сделать подстановку, преобразуем подынтегральную функцию к виду (1 + x4)−1/4 = x−1(x−4 + 1)−1/4. Тогда

5.5.3Интегрирование тригонометрических функций

Лемма 5.7. Функции вида R(sin x, cos x), где R(u, v) — рациональная функция от u и v, интегрируются в элементарных функциях.

Подстановка tg x2 = t, x (−π, π) рационализирует выражение

R(sin x, cos x) dx,

где R1(t) — рациональная функция от t. Следовательно, рассматриваемая функция интегрируется в элементарных функциях.

173

цель может достигаться с помощью более простых подстановок. Напомним следующие простые результаты из курса алгебры. Если рациональная функция R(u, v) является нечетной по переменной u, то есть R(−u, v) = −R(u, v), то она приводится к виду R(u, v) = u R1(u2, v), где R1 — рациональная функция. Аналогичное представление имеет место, если функция R(u, v) является нечетной по переменной v. Если же рациональная функция R(u, v) является четной по совокупности

Теперь выделим три специальных подстановки.

1. Если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то подстановка cos x = t

рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx, так как dt = − sin x dx и

где R2(t) — рациональная функция от t.

2.Если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то аналогичным образом подстановка sin x = t рационализирует выражение R(sin x, cos x) dx.

3.Если R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), то исходное выражение

где R4(t) — рациональная функция от t.

Рассмотрим примеры интегрирования в элементарных функциях ра-

174

Z

Пример 5.29. Вычислить интеграл sin5 x cos4 x dx.

Так как R(− sin x, cos x) = − sin5 x cos4 x = −R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, получим

Иногда при вычислении интегралов указанного типа бывает полезно прибегать к другим искусственным приемам, используя известные три-

sin αx cos βx = 12 sin(α + β)x + sin(α − β)x ,

175