5)ex dx = ex + C, D R.

Zdx

9)sin2 x = − ctg x + C, D {(πk, π(k + 1), k Z}.

Zdx

18)sh2 x = − cth x + C, D (R \ {0}).

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

5.4Основные методы интегрирования

При вычислении производных обычно пользуются стандартным набором правил и формул, что превращает дифференцирование в единообразную, выполняемую по одним и тем же схемам, работу. Иначе обстоит дело с интегрированием функций. Не существует единого рецепта вычисления неопределенного интеграла, пригодного для всех элементарных

145

функций. Поэтому приходится рассматривать отдельные классы функций и для них разрабатывать правила или хотя бы рекомендации по вычислению интегралов.

5.4.1Непосредственное интегрирование

Использование теорем, приведенных в разделе 5.2, и таблицы основных неопределенных интегралов позволяет вычислять только простейшие интегралы. Рассмотрим несколько примеров.

5.4.2Метод подстановки (замены переменной)

Одним из основных методов интегрирования функций является метод подстановки (или метод замены переменной). Он основан на следующей теореме.

Теорема 5.6. Пусть D, T — промежутки в R, функция f : D → R имеет на D первообразную F (x), а функция ϕ : T → R дифференцируема на T и ϕ(T ) D, тогда

Z

146

Поскольку функция ϕ дифференцируема на T , ϕ(T ) D, a функция F дифференцируема на D, то по теореме о дифференцируемости суперпозиции (см. теорему 4.5) функция F ◦ ϕ дифференцируема на T и

(F ◦ ϕ)0(t) = F 0(ϕ(t))ϕ0(t) = f(ϕ(t))ϕ0(t), t T.

Следовательно, функция F (ϕ(t)) на промежутке T является первообразной для функции f(ϕ(t))ϕ0(t), и по определению 5.2

Формула (5.5) называется формулой интегрирования посредством подстановки ϕ(t) = x. Её применение к вычислению интегралов состоит в том, что вместо вычисления интеграла, стоящего слева в формуле (5.5), вычисляется интеграл, стоящий справа, а затем, возвращаясь к переменной t, полагается x = ϕ(t). В ряде случаев формулу (5.5) це-

лесообразно использовать в обратном порядке. Именно, иногда удобно

Z

вычисление интеграла f(x) dx свести с помощью замены переменной

Z

x = ϕ(t) к вычислению интеграла f(ϕ(t))ϕ0(t) dt. Если допустить, что выполнены условия теоремы 5.6 и, кроме того, функция ϕ : T → D является биекцией, а значит существует обратная функция ϕ−1 : D → T ,

Формула (5.6) называется формулой интегрирования заменой переменной x = ϕ(t).

При использовании метода интегрирования с помощью подстановки или замены переменной общих рекомендаций по определению нужной подстановки не существует. Такие рекомендации можно дать только для некоторых специальных видов подынтегральных функций. Эти замены будут рассматриваться ниже, а пока рассмотрим этот метод на простых

147

Сделаем замену переменной x = sin t (|t| ≤ π/2)). Тогда dx = cos t dt и

так как t = arcsin x при |t| ≤ π2 .

5.4.3 Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 5.7. Пусть функции u, v : D → R дифференцируемы на промежутке D. Если функция u0(x) v(x) имеет первообразную на D, то функция u(x) v0(x) также имеет первообразную на D, причем

Z Z

u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) − u0(x)v(x) dx. (5.7)

Так как функции u(x) и v(x) дифференцируемы на D, то функция u(x)v(x) также дифференцируема на D и

(u(x) v(x))0 = u0(x) v(x) + u(x) v0(x)

или

u(x) v0(x) = (u(x) v(x))0 − u0(x) v(x).

Z

По теореме 5.3 (u(x) v(x))0 dx = u(x) v(x)+C для всех x D. Поскольку на промежутке D существуют первообразные функций (u(x)v(x))0 и u0(x)v(x), то по теореме 5.4 на D существует первообразная функции u(x) v0(x) и

Z Z Z

u(x) v0(x) dx = (u(x) v(x))0 dx − u0(x) v(x) dx =

148

Z

= u(x) v(x) − u0(x) v(x) dx.

Определение дифференциала функции и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (5.7) в виде

Формулы (5.7),(5.8) называют формулами интегрирования по частям. Заметим, что, применяя метод интегрирования по частям, следует

предварительно представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции u на дифференциал другой функции dv. При этом функция v определяется неоднозначно. Обычно в качестве v(x) выбирается функция, записываемая в наиболее простой форме (не до-

ZZ

(C) ex sin x dx, ex cos x dx;

где P (x) — многочлен, а также подобные им интегралы. В случае (A) следует полагать u = P (x), в случае (B) — dv = P (x) dx, в случае (C)

— u = ex или u = sin x (u = cos x). При этом, для интегралов вида (A) требуется применить формулу (5.8) k раз, где k — степень многочлена P (x), для интегралов вида (B) — один раз, а затем использовать другие методы, а для интегралов вида (С) требуется двукратное интегрирование

Чтобы вычислить последний интеграл, еще раз применим формулу (5.8), полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x и

I = x ln2 x − 2 x ln x − Z xx1 dx! = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C.

149

√ √ Z √

= x x2 + a + a ln |x + x2 + a| − x2 + a dx.

Получили уравнение относительно исходного интеграла. Перенося его

Полученная рекуррентная формула сводит вычисление интеграла с показателем степени n к вычислению интеграла с показателем степени n −1. Так как интеграл J1 является табличным,

то применяя рекуррентная формулу к вычислению, например, интеграла

150