Замечание 1. Теорема Лагранжа 4.11 является частным случаем теоремы Коши при g(x) = x.

Замечание 2. В формуле Коши конечных приращений не обязательно считать, что a < b. Эта формула верна и при b < a.

4.9 Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть заданы две функции ϕ : T → X, ψ : T → Y . Будем считать, что функция x = ϕ(t) биективна. Поэтому определена обратная функция t = ϕ−1(x), ϕ−1 : X → T , а значит и суперпозиция f(x) = ψ(ϕ−1(x)). Функцию f = ψ ◦ ϕ−1 называют заданной параметрически и записывают одним из следующих способов:

x = ϕ(t)

f : x = ϕ(t), y = ψ(t), t T ; f : y = ψ(t) , t T.

Переменную t называют параметром функции f : X → Y . Вопрос о дифференцировании параметрически заданной функции решает следующее утверждение.

Теорема 4.15. Пусть T — промежуток и параметрически заданная функция f : X → Y , f : x = ϕ(t), y = ψ(t), t T , удовлетворяет условиям:

1)функции ϕ и ψ дифференцируемы на T ;

2)ϕ0(t) 6= 0, t T ;

Тогда функция f дифференцируема на промежутке X, её производная fx0 является параметрически заданной функцией

Так как функция ϕ удовлетворяет условиям 1) −2), то по следствию 2 теоремы Дарбу (4.9) функция ϕ0 сохраняет знак на промежутке T . Поэтому, согласно следствию 1 теоремы 4.13, функция ϕ либо возрастает

115

(если ϕ0(t) > 0 на T ), либо убывает (если ϕ0(t) > 0 на T ). Тогда по теореме 4.6 обратная функция ϕ−1 : X → T дифференцируема на промежутке

X = ϕ(T ) и

(ϕ−1)0(x) = 1/ϕ0(ϕ−1(x)), x X.

Поскольку функция ψ дифференцируема на X, то по теореме о дифференцируемости суперпозиции функция f = ψ ◦ ϕ−1 дифференцируема на X и

Последнее означает, что функция fx0 является параметрически заданной fx0 : x = ϕ(t), y = ψϕ00((tt)), t T.

4.10Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

Теорема 4.16. Пусть функции f и ϕ дифференцируемы на ин-

тервале (a, b), ϕ0(x) 6= 0, x (a, b), и lim f(x) = lim ϕ(x) = 0. Если

x→b x→b

существует конечный или бесконечный предел

lim f0(x) = K,

x→b ϕ0(x)

то существует предел

lim f(x) = K.

x→b ϕ(x)

Рассмотрим два случая: b R и b = +∞.

1)Пусть b R и для определенности b > a. Доопределим функции f и ϕ в точке b, положив f(b) = ϕ(b) = 0. Теперь функции f и ϕ непрерыв-

ны на промежутке (a, b] и удовлетворяют условиям теоремы Коши 4.14 на любом отрезке [x, b], где x (a, b). Поэтому для каждого x (a, b) найдется точка cx (x, b) такая, что

116

то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, условия которой выполнены, правая часть равенства (4.15) имеет предел при x → b и он равен K. Следовательно, существует предел левой части равенства (4.15) при x → b и он равен K.

2) Пусть теперь b = +∞. Без ограничения общности будем считать, что a > 0. По условиям теоремы функции f и ϕ дифференцируемы на

(снова воспользовались теоремой 2.37 о пределе суперпозиции функций).

Мы опускаем доказательство этого утверждения, отсылая читателя к книгам [4, с. 318–320], [6, т.1, с. 280–284],[1, т.1, c. 256–260].

Совершенно аналогично формулируются и доказываются теоремы,

аналогичные теоремам 4.16 и 4.17, когда lim f(x) = lim ϕ(x) = 0 или ∞,

x→a x→a

a R, или a = −∞.

Замечание 1. Предел отношения функций f и ϕ может существовать в случае, когда не существует предел отношения производных этих

117

но не существует предела при x → 0 отношения производных этих функ-

то есть правило Лопиталя можно применить повторно.

4.11Формула Тейлора

Теорема 4.18 (формула Тейлора для многочлена). Пусть a —

некоторое число, P — многочлен степени n (n ≥ 1). Тогда

P (x) = P (a) + P 0(a)(x − a) + ... + P (n)(a)(x − a)n,

1! n!

то есть многочлен P степени n однозначно определяется значениями многочлена и его производных P (a), P 0(a),...,P (n)(a) в точке a.

118

((x − a) + a)k, раскроем внешние скобки, приведем подобные и получим представление (4.16). Поэтому можно считать, что многочлен P (x) задан формулой (4.16). Выразим коэффициенты bk, k = 0, 1, . . . , n, многочлена P (x) через значения его производных в точке a.

Из равенства (4.16) следует, что P (a) = b0. Последовательно продифференцируем равенство (4.16) k раз (k = 1, . . . , n) и получим, что

P (k)(x) =

= k!bk + (k + 1)k . . . 2 bk+1(x −a) + · · ·+ n(n −1) . . . (n −k + 1)bn(x −a)n−k,

гочленом Тейлора порядка n функции f по степеням (x − a). Согласно предыдущей теореме (Tnf )(k)(a) = f(k)(a), k = 0, 1, . . . , n. Положим

Если функция f(x) не является многочленом степени n, то Rnf 6≡0. Равенство (4.17) называют формулой Тейлора функции f по степеням (x − a), а функцию Rnf (x) — ее n-ным остаточным членом.

Теорема 4.19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f дифференцируема (n −1) раз в промежутке [a, a + δ) и n раз в точке a (n N). Тогда

f(x) = Tnf (x) + o((x − a)n) при x → a.

Из равенства (4.17) Rnf (x) = f(x) − Tnf (x). Поэтому функция Rnf диф-

сматриваемое отношение удовлетворяет условиям первого правила Лoпиталя и при (n − 1)-кратном его применении получим, что

119

если последний предел существует. Поскольку функция (Rnf )(n−1) дифференцируема в точке a и (Rnf )(n−1)(a) = 0, то

Следовательно, (n −1)-кратное применение правила Лoпиталя законно и при x → a Rnf (x) = o((x − a)n), то есть при x → a

Полученное представление функции f называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Если же a = 0 — формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано является обобщением представлений для непрерывной и дифференцируемой в точке a функции.

Cледствие. Пусть функции f и g n раз дифференцируемы в точке a и f(k)(a) = g(k)(a), k = 0, 1, . . . , n. Тогда при x → a имеет место

вия следствия выполняются для любого n N, поэтому при x → a f(x) = o((x − a)n) для любого n N.

Теорема 4.20. Если выполнены условия теоремы 4.19 и существует многочлен Pn(x) такой, что f(x) = Pn(x) + o((x − a)n) при x → a, то он единственен.

n

X

Пусть Pn(x) =

k=0

X

n f(k)(a)

f(x) = (x − a)k + o((x − a)n).

k=0 k!

Cледовательно,

Переходя в этом равенстве к пределу при x → a, получим равенство

120

Поэтому многочлен Pn(x) является многочленом Тейлора Tnf (x) функции f по степеням (x − a).

Замечание. Доказанная теорема означает, что никакой многочлен Pn(x) степени n, отличный от многочлена Тейлора Tnf (x) порядка n не может приближать функцию f с точностью o((x − a)n) при x → a.

Применяя теорему 4.19 к элементарным функциям при a = 0, получим:

Вывод этих формул читатель может найти в [6, т.1, с. 192–195]. Пример 4.14. Пусть функция f дифференцируема (n+1) раз в точке

a = 0 и известно, что

Поэтому f(k+1)(0) = k!bk или f(k)(0) = (k − 1)!bk−1, k = 1, 2, . . . , n + 1 и

121