Как отмечалось выше, равенства, отмеченные в свойствах 1)–6), читаются слева направо, хотя могут оказаться верными и при чтении справа налево (например, 7), 6)).
2.3Задания для самостоятельной работы
1. Найти все предельные точки множеств a) X = {x R : sin πx = 0},
b) X = {2(−1)n n, n N},
c) X = {(−1)n + sinnn, n N}.
2. Привести пример множества X, для которого множество его предельных точек совпадает с множеством {1, 2, 3}.
3. Привести пример множества X, для которого множество его предельных точек совпадает с множеством {1/n, n N}.
4. Пусть множество X = {xn, n N} имеет единственную предельную точку a. Можно ли утверждать, что lim xn = a?
5. Пусть множество X имеет предельную точку a. Можно ли сказать, что множество Y = {|x| : x X} имеет предельную точку? Если имеет, найти ее.
6. Пусть f : X → R, a — предельная точка X и существует окрестность Ua такая, что f Ua∩X — не ограничена. Можно ли утверждать, что
lim f = ∞?
a
7.Пусть функция f имеет в каждой точке множества X конечный предел. Можно ли утверждать, что f ограничена на X? Привести соответствующие примеры.
8.Пусть отличная от постоянной функция f : R → R является T -пери-
одической. Доказать, что @ lim f(x).
x→+∞
9. |
Пусть f(x) = x2 cos |
π |
и g(y) = sgn2 y. Показать, что @ lim g(f(x)), |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
хотя lim f(x) = 0, lim g(y) = 1. Почему к функции g |
◦ |
f в точке x = 0 |
||||||||
|
x→0 |
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
не применима теорема о пределе суперпозиции функций? |
||||||||||
10. |
Пусть функции f(x) и g(x) определены на множестве X, x0 – пре- |
||||||||||
|
дельная точка X и lim f(x) = A |
R \ { |
0 |
} |
и |
lim g(x). Доказать, |
|||||
|
|
x→x0 |
|
|
@ x→x0 |
|
|||||
что функции f + g и f · g не имеют предела в точке x0.
67
11. |
Доказать, что |
lim f(x) = A |
R |
|
lim f(x3) = A. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|||||||
12. |
Доказать, что |
lim f(x) = A |
R |
|
lim f3(x) = A3. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
lim f(x2) = A." |
|||||||||
13. |
Верно ли утверждение: " lim f(x) = A |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
R x→x0 |
|
|||||||
14. |
Пусть f : X → R, X = X1 X2, X1 ∩ X2 = . Пусть в каждой |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
X1 |
|
|
|
|
|
|||
|
точке a |
|
X |
существует |
|
lim f |
|
(x) = f(a), и в каждой точке |
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
X2 |
|
(x) = f(a). Можно ли утверждать, что в |
||||||||||||
|
|
X2 существует lim f |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
каждой точке a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
X существует |
lim f(x) = f(a)? |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
"x |
# |
x→0 |
[x] |
|
|
||||||
15. |
Существуют ли пределы lim x |
1 |
, |
lim |
1 |
x ? |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16. |
Пусть lim f(x) = 0. Доказать, что |
lim (f(x) + f(2x)) = 0. Верно ли |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
||
|
обратное утверждение? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17. |
Пусть f : (−δ, δ) → R, δ > 0 и выполняются условия |
||||||||||||||||||||||||
|
1) f(x) ≥ |x| |
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
для всех x Ua(δ); |
◦ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2) f(x) · f(2x) ≤ 2 |x| для всех x Ua(δ). |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Доказать, что существует lim f(x) = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
◦ |
|||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти lim f(x), если функция f определена в окрестности Ua точки |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→a |
f(x) + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
R и lim |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→a |
|
|
|f(x)| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19. |
Пусть f |
|
, |
|
|
|
|
|
|
и для любого числа a > |
0 |
lim f(a + n) = a. |
|||||||||||||
|
|
|
|
: [0 +∞) → R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→+∞ |
||||||||
|
Можно ли утверждать, что существует |
lim f(x)? |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
||
20. |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
x Q |
\ Q . Доказать, что эта функция имеет |
|||||||||||||||
Пусть f(x) = x2, |
x |
R |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в точках |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
предел только |
2 |
|
|
±1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Q |
|
. Имеет ли эта функция предел в |
|||||||||||
21. |
Пусть f(x) = |
x , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2, |
|
x |
R \ Q |
|||||||||||||||||||||
|
точках x R? |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
68