18. Как переводить высказывания на формальный язык.

Дано высказывание на русском языке. Как перевести его на формальный язык (язык логики предикатов первого порядка)?

• Сначала следует выбрать универсум, содержащий объекты (сущности), о которых говорится в предложении. В некоторых случаях одним универсумом не обойтись.

• После этого следует выбрать предикатные символы для обозначения свойств объектов (одноместные предикаты) и/или отношений между объектами универсума (универсумов).

• Количество используемых предикатов следует минимизировать, но и не следует впадать в другую крайность, когда высказывание представляется одним многоместным предикатом.

• Когда речь идет о конкретных объектах (указаны собственные имена), то следует вводить константы для обозначения этих объектов. Если объекты неопределенны, то для их именования используются переменные. В некоторых случаях для именования объектов используются составные термы.

• Из элементарных формул с помощью логических связок, следуя структуре высказывания, создается окончательная сложная формула.

• Некоторые лекции невозможно понять.

Универсум: M = {публичные выступления}. Предикаты: B(x) ≡ «x – лекция», G(x) ≡ «x – понимаемое выступление». Формула: ∃x (B(x) & ¬G(x))

Если на значения переменной накладываются сразу несколько ограничений, то все они перечисляются через &, а затем надстраивается ограниченный квантор по обычным правилам. Связки ⊃ и ~ связывают слабее, чем & и ∨, В общем случае при переводе содержательного высказывания на формальный язык формула должна быть замкнутой.

19. Равенство. Основной закон равенства. Как представить единственность и не единственность на формальном языке.

Как переводить фразы вида: «Я люблю лишь тебя, одну на целом свете», «Уравнение имеет единственное решение», «У меня три настоящих друга», «У задачи не менее четырех различных решений» и т.п.

• Все утверждения подобного рода, где говорится не просто о существовании предметов, а об их количестве, требуют для перевода на формальный язык использования предиката равенства =.

• Если в некоторой математической теории два объекта объявляются равными, то их свойства в данной теории неразличимы. Другими словами, если мы, как говорят в математике, отождествляем какие-либо объекты, мы одновременно запрещаем себе использовать в наших строгих математических рассуждениях какие-либо свойства, различающие эти объекты.

Основной закон равенства

Если A – произвольная формальная формула языка нашей формальной теории, то ∀x,y (x=y ⊃ (A(x) ⊃ A(y)))

Другими словами, свойства равных объектов эквивалентны. В математических утверждениях можно заменить равные объекты друг на друга, и мы получим эквивалентное рассуждение. Например, утверждение, говорящее о числе «4», мы можем заменить на эквивалентное утверждение, говорящее о выражении «2+2». Но в обычном языке не всегда так. Можно сказать, что «Вовочка не знал, что 2+2 – это четыре», но нельзя – «Вовочка не знал, что 2+2 – это 2+2».

• Еще одно свойство равенства: ∀x (x= x), т.е. каждый объект равен самому себе. Из этих двух свойств равенства выводятся другие законы

равенства, например:

• ∀x,y,z (x=y & y=z ⊃ x=z);

• ∀x,y (x=y ⊃ y=x);

• ∀x,y,z (x=y & x=z ⊃ y=z).

• Общий способ получить утверждение «существует не более n таких x, что A(x)»: ∃x1,…, xn(∀y (A(y) ∼ x1 = y ∨ … ∨ xn = y)).

Но здесь мы не утверждаем, что этих различных x ровно n: если x и y обозначены по-разному, то это отнюдь не означает, что они принимают различные значения: они имеют право принимать разные значения, но имеют право принять и одинаковые.

• Как формулировать различие?

Существует не менее двух объектов со свойством A: ∃x,y (x ≠ y & A(x) & A(y)).

Существует в точности два объекта со свойством A : ∃x,y (x ≠ y & ∀z (A(z) ∼ z = x ∨ z = y)).

Формула x ≠ y есть сокращенное написание формулы ¬ (x=y).