5. Зачем Вам изучать формальный язык? Значение математической логики для программирования.

• Незнание мощных и простых методов преобразования математических предложений, предоставляемых языком математической логики, все равно, что незнание основ алгебры. Не надо изобретать велосипед.

• Математическая логика, возникшая почти 100 лет назад в связи с внутренними потребностями математики, нашла применение в

теоретическом и практическом программировании.

• При решении прикладных задач исследователь должен все время заниматься переводами с содержательного языка на математический, с математического языка на язык численных методов и алгоритмов, с языка алгоритмов на конкретный язык программирования и обратно. Язык математической логики предоставляет великолепный случай потренироваться в таких переводах, а сам используется как мощное и формальное средство для перевода между далеко отстоящими друг от друга языками.

• Почему программисты обратились к математической логике, а логики заинтересовались программированием? В недрах математической логики были найдены математически точные понятия алгоритма и вычислимой функции, развита семантика формальных языков и теорий, построены системы логического вывода.

• Программирование также имеет дело с формальными языками – языками программирования. Чтобы сделать эти языки удобными и естественными для человека полезно воспользоваться опытом математической логики. В результате появились принципиально новые языки функционального (Лисп, Haskell) и логического (Пролог) программирования.

6. Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс лжеца. Парадокс Сократа и Платона. Парадокс Альберта Саксонского. Значение парадоксов для математики.

Парадоксом называется утверждение, из истинности которого следует его ложность, а из ложности – истинность.

• Неограниченное использование естественного языка в математике приводит к парадоксам.

Парадокс лжеца (Евбулид, 4 век до н.э.): «Я лгу». Появление этого парадокса произвело громадное впечатление на античных философов и мудрецов. Стоик Хрисипп посвятил ему три книги. Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой.

Предание говорит, что известный греческий логик Диодор Кронос (? – около 370 до н.э.) уже на склоне лет дал обет не принимать

пищу до тех пор, пока не найдет решение парадокса лжеца, и вскоре умер, так ничего и не добившись.

• Другая форма парадокса лжеца (Иоанн Буридан, 13 век, французский логик): обозначим через P высказывание: P ложно

• Парадокс о Сократе и Платоне: Сократ: «То, что сказал Платон, есть ложь». Платон: «Сократ говорит только правду».

• Немецкий логик 14 в. Альберт Саксонский предложил следующий парадокс. Имеются три высказывания: Q1: «Q2 ложно»;

Q2: «Q3 ложно»; Q3: «Q1 ложно». Какие у них значения истинности?

Мы можем очевидным образом увеличить количество самоссылаюшихся косвенно друг на друга высказываний до любого числа (как?) – снова получаем парадоксы.

Появление первых парадоксов ошеломило математический мир и послужило поводом, чтобы предпринять систематическое построение математической логики.