-
Как доказывать, что данная формула является тавтологией. Два способа.
Пусть дана некоторая формула F логики высказываний и надо выяснить, является ли формула F тавтологией. Простой метод доказательства – использовать таблицу истинности. Хорошо, если эта таблица небольшая, но когда высказывательных переменных много, то такой подход трудоемок. В случае, когда F имеет вид F1⊃F2, желательно использовать метод доказательства от противного. Вы предполагаете, что формула
F ложна и, делая отсюда выводы, приходите к противоречию или определяете значения переменных, при которых формула ложна. Для формул указанного вида ложность F1⊃F2 однозначно определяет: F1 – истинна, а F2 – ложна.
Пример. Является ли формула ((P ⊃ Q)& P) ⊃ (Q ⊃ ¬P) тавтологией?
Решение. Предположим, что формула ((P ⊃ Q) & P) ⊃ (Q ⊃ ¬P) ложна при некоторых значениях высказывательных переменных P и Q.
Получили значения переменных (Q = И и P = И), при которых формула ((P ⊃ Q)& P) ⊃ (Q ⊃ ¬P) = Л, следовательно, эта формула не является тавтологией.
-
Равносильные формулы. Примеры равносильностей. Способы доказательств равносильностей.
Пусть A и B - две формулы и {X1, X2,…, Xn} - множество всех высказывательных переменных, входящих в формулу A и/или в формулу B. Будем называть эти формулы равносильными, если при любом распределении истинностных значений для переменных {X1, X2,…, Xn}, они принимают одинаковые значения. Равносильность формул A и B будем обозначать A≡B.
Теорема 1. Основные равносильности. Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
1. A&B ≡ B&A (коммутативность &);
2. A&A ≡ A (идемпотентность &);
3. A&(B&C) ≡ (A&B)&C (ассоциативность &);
4. A∨B ≡ B∨A (коммутативность ∨);
5. A∨A ≡ A (идемпотентность∨);
6. A∨ (B∨C) ≡ (A∨B) ∨C (ассоциативность ∨);
7. A∨ (B&C) ≡ (A∨B)&(A∨C) (дистрибутивность ∨ относительно &);
8. A&(B∨C) ≡ (A&B) ∨ (A&C) (дистрибутивность & относительно ∨);
9. A&(A∨B) ≡ A (первый закон поглощения);
10. A∨ (A&B) ≡ A (второй закон поглощения);
11. ¬¬A ≡ A (снятия двойного отрицания);
12. ¬ (A&B) ≡ ¬A∨¬B (первый закон де Моргана);
13. ¬ (A∨B) ≡ ¬A&¬B (второй закон де Моргана);
14. A ≡ (A&B) ∨ (A&¬B) (первый закон расщепления);
15. A ≡ (A∨B)&(A∨¬B) (второй закон расщепления).
16. A~B ≡ (A⊃B)&(B⊃A) ≡ (A&B) ∨ (¬A&¬B);
17. A⊃B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬ (A&¬B);
18. A∨B ≡ ¬A⊃B ≡ ¬ (¬A&¬B);
19. A&B ≡ ¬ (A⊃ ¬B) ≡ ¬ (¬A∨¬B).
Доказательство A∨ (B&C) ≡ (A∨B)&(A∨C) с помощью таблицы истинности.
Доказательство ¬ (A&B) ≡ ¬A∨¬B без таблицы истинности. Пусть на некотором наборе истинностных значений переменных
формула ¬(A&B) принимает значение Л. Тогда формула A&B принимает значение И, а поэтому обе формулы A и B принимают значение И.
Но в этом случае, очевидно, и правая часть равносильности 12 принимает значение Л. И наоборот, пусть формула ¬A∨¬B принимает значение Л.
Тогда формулы ¬A, ¬B принимают значение Л, а формулы A, B – значение И. Очевидно, что и левая часть равносильности ¬ (A&B) ≡ ¬A∨¬B
принимает значение Л.
• Нужно различать символы ~ и ≡. Так, ~ является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы, а символ ≡ обозначает отношение на множестве формул.
• Очевидным образом, A ≡ B тогда и только тогда, когда A ~ B есть тавтология (которая обычно называется эквивалентностью).
• Кроме того, если A ≡ B, то A ⊃ B является тавтологией.