30. Композиция отношений. Определения рефлексивности, симметричности, транзитивности и антисимметричности. Примеры отношений.

Имея два заданных отношения, можно образовать новые отношения: Композицией отношений ρ⊆X×Y и ϕ⊆Y×Z называется отношение ϕ°ρ⊆X×Z, такое, что ϕ°ρ = {<x,z> | x∈X & z∈Z & ∃y(y∈Y & <x,y>∈ρ & <y,z>∈ϕ)}.

Пример Пусть ρ и ϕ - отношения на множестве людей A, определенные следующим образом: x ρ y, если и только если x – мать y; x ϕ y, если и только если x – отец y. Имеем

<x,z>∈ϕ°ρ ⇔ ∃y (xρy & yϕz) ⇔ x – бабушка по линии отца для z.

<x,z>∈ρ°ϕ ⇔ ∃y (xϕy & yρz) ⇔ x – дедушка по линии матери для z.

<x,z>∈ϕ°ϕ ⇔ ∃y (xϕy & yϕz) ⇔ x – дедушка по линии отца для z.

<x,z>∈ρ°ρ ⇔ ∃y (xρy & yρz) ⇔ , когда x – бабушка по линии матери для z.

<x,z>∈ρ°ρ ∪ρ°ϕ тогда и только тогда, когда x – бабушка z.

<x,z>∈ϕ°ρ ∪ϕ°ϕ тогда и только тогда, когда x – дедушка z.

<x,z>∈ϕ°ρ ∪ρ°ρ тогда и только тогда, когда x – родитель матери z.

Теорема 6. Для любых отношений выполняются следующие свойства:

(ρ–1)–1 = ρ; (γ°ϕ)–1 = ϕ–1 ° γ–1.

Доказательство. Первое свойство очевидно. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Действительно,

<x, z>∈(γ°ϕ)–1 ⇔ <z, x>∈γ°ϕ ⇔ существует y такое, что <z, y>∈ϕ и <y, x>∈γ ⇔ существует y такое, что <y, z>∈ϕ–1 и <x, y>∈γ–1 ⇔ <x, z>∈ϕ–1 ° γ–1.

• Отношение ρ на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента x ∈ X выполняется x ρ x.

• Отношение ρ на множестве X называется симметричным, если для любых x, y ∈ X из x ρ y следует y ρ x.

• Отношение ρ на множестве X называется транзитивным, если для любых x, y, z ∈ X из x ρ y и y ρ z следует x ρ z.

• Отношение ρ на множестве X называется антисимметричным, если для любых x, y ∈ X из x ρ y и y ρ x следует x = y.

Замечание 1. Транзитивность описывается формулой ∀x∀y∀z(<x,y>∈ρ & <y,z>∈ρ ⊃ <x,z>∈ρ).

Если для отношения ρ вообще не существуют таких x, y и z, чтобы выполнялось <x,y>∈ρ & <y,z>∈ρ, то импликация истинна и, следовательно, отношение транзитивно.

Замечание 2. Антисимметричность описывается формулой ∀x∀y(<x,y>∈ρ & <y,x>∈ρ ⊃ x = y).

Если для отношения ρ вообще не существуют таких x и y, чтобы выполнялось <x,y>∈ρ & <y,x>∈ρ, то импликация истинна и, следовательно, отношение антисимметрично.

Примеры • Пусть отношение ρ задано на множестве действительных чисел R и x ρ y, если и только если x ≤ y. Тогда ρ рефлексивно, потому что x ≤ x для всех x∈R. Отношение ρ не симметрично, например, 1 ≤ 2, но 2 ≤ 1 не выполнено. Отношение ρ, очевидно, является транзитивным, ибо если x ≤ y и y ≤ z, то x ≤ z. Отношение является антисимметричным, поскольку x ≤ y и y ≤ x влечет x = y.

• Пусть ρ1 = {<1,2>, <2,3>}, ρ2 = {<1,2>, <1,3>}. Тогда отношение ρ1 не транзитивно, так как <1,2>∈ρ1 и <2,3>∈ρ1, но <1,3> ∉ ρ1. Но отношение ρ2 является транзитивным, поскольку нет вообще таких элементов x, y и z, чтобы выполнялось условие x ρ2 y и y ρ2 z.

• Пусть A - непустое множество и ρ = ∅ (пустое отношение на A). Тогда отношение ρ является симметричным, транзитивным, антисимметричным. Если же A = ∅, то ρ еще и рефлексивно.