1. Зачем обучать математике (мнение в. Успенского). Демократичность математики.

Владимир Успенский:

Главная цель обучения математике – психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не в столько обучении методу, сколько в изменении – нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления (слово «дисциплина» обозначает здесь приверженность к порядку и способность следовать этому порядку). Еще три важнейших умения, выработке которых должно способствовать математические занятия. (Перечисление в порядке возрастания важности):

􀁺 первое – это умение отличать истину от лжи (доказанное от недоказанного);

􀁺 второе – это умение отличать смысл от бессмыслицы;

􀁺 третье – это умение отличать понятное от непонятного.

Зачем обучать математике?

􀁺 Чтобы квалифицировать высказывание как ложное, бессмысленное или непонятное, надо сделать некоторое усилие – иногда почти героическое, как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать. Не все и не всегда готовы на такое усилие.

􀁺 Способность к такому усилию, о котором, только что говорилось, тренируется (должна тренироваться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика – наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается – а при косвенном воздействии прививается – демократизм.

􀁺 Внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто ее произносит, академик или школьник – при этом академик может оказаться неправ, а школьник прав. Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего (проживи Сталин дольше, возможно, была бы заменена и таблица умножения).

2. Что такое логика. Примеры ошибок в логических рассуждениях. Формальная логика Аристотеля. Переход от формальной логики к математической. Что такое математическая логика?

Отличие науки от ремесла и искусства в том, что она не останавливается на стадиях ощущений, образов и представлений, как ремесло либо искусство, но требует развития понятий и терминов.

􀁺 Понятие – это языковая единица, имеющая достаточно четко определенный смысл.

􀁺 Термин – слово, смысл которого фиксирован.

􀁺 Логика – наука, изучающая с формальной точки зрения понятия, методы их определения и преобразования, суждения о них и структуры доказательных рассуждений.

􀁺 Логику интересует лишь форма наших мыслей, но не их содержание. Разнообразие содержания укладывается в сравнительно небольшое число форм. Грубо говоря, логику интересуют сосуды – бутылки, ведра, бочки, – а не то, что в них налито.

В античности Аристотель создал канон доказательных рассуждений, так называемые силлогизмы.

Примеры одного из силлогизмов:

Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен. Все змеи летают. Лектор – змея. Следовательно, лектор летает.

Формальная логика Аристотеля – это еще не математическая наука.

Примеры ошибок в логических рассуждениях

􀁺 Вечный двигатель первого рода невозможен, поскольку его запрещает первое начало термодинамики; вечный двигатель второго и третьего рода запрещают соответственно второе и третье начала термодинамики; поскольку четвертого начала термодинамики нет, то вечный двигатель четвертого рода возможен.

􀁺 В гробнице египетских фараонов археологи обнаружили проволоку, на основании чего один «египтолог» высказал предположение: в Древнем Египте знали телеграф. Услышав «новость» другой исследователь заключил: поскольку в гробницах ассирийских царей никакой проволоки не найдено, в Ассирии уже был известен беспроволочный телеграф.

􀁺 Немецкий физик и химик Вальтер Нерст, открывший третье начало термодинамики, с иронией «доказывал» завершение разработки фундаментальных законов этого раздела физики. «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго – два: Карно и Клазис, а у третьего – только один – Нерст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики должно равняться нулю, т.е. такого закона просто не может быть».

Переход от формальной логики к математической логике

􀁺 Работы Лейбница: традиционная задача математики: «заменить вычисления рассуждениями» была инвертирована и превратилась в задачу математической логики: «заменить рассуждения вычислениями».

􀁺 Но только в середине 19 века появились первые научные работы по алгебраизации аристотелевой логики.

Появилась новая наука – математическая логика – унаследовавшая задачи формальной логики, но использовавшая для их решения математический аппарат.

􀁺 Математическая логика – логика по предмету, математика по методу.

􀁺 Логика отличается от других наук фундаментальностью рассматриваемых проблем, а математическая логика – сочетанием весьма сложного аппарата с сохранением философской глубины и с полностью неординарным взглядом на математический мир.