3. Существует ли математический мир независимо от нас или создается нами? – два мнения. Математики открывают или изобретают? Сущность математики (точка зрения н. Н. Непейводы).

Существует ли математический мир независимо от нас или создается нами?

􀁺 Конвенционализм: Математические истины являются «истинами по соглашению», поскольку все они представляют собой более или менее отдаленные следствия принятых соглашений. Нам не нужен опыт, чтобы оправдать математическое утверждение.

􀁺 Реализм: Истины математики не являются только «истинами по соглашению». Тот факт, что математика приводит к правильным результатам, по-видимому, показывает, что она способна точно отобразить положение дел во «внешнем мире».

􀁺 Но как мы тогда получаем математическое знание?

Математики открывают или изобретают?

􀁺 Комплексные числа

Комплексные числа были введены, чтобы решать кубические уравнения. В течение тех четырех веков, когда были известны комплексные числа, их магические свойства проявлялись постепенно. Сначала они ощущались лишь внутри самой математики, создавая единство и глубину математического понимания, недостижимую при использовании одних лишь вещественных чисел. Не было никаких оснований ожидать, что физический мир должен иметь к ним какое-то отношение. И в течение приблизительно 350 лет с тех пор, как эти числа были введены работами Кардано и Бомбелли, магия комплексных чисел проявлялась лишь в их чисто математической роли. Для всех тех, кто высказывал недоверие в отношении комплексных чисел, несомненно, оказалось большим сюрпризом, что, согласно физике последних трех четвертей XX века, законы, управляющие миром в его наиболее малых масштабах, определенно описываются системой комплексных чисел. Хотя мы добавили квадратный корень лишь для одной величины (а именно –1), оказывается, что любое число получающейся при этом системы теперь автоматически имеет квадратный корень! Но это лишь самое начало. Мы можем задать вопрос относительно кубического корня, корня пятой степени, корня 999-й степени и даже корня i-й степени. Мы найдем, что какое бы комплексное число мы ни взяли и корень какой комплексной степени (за исключением 0) из него ни извлекли, мы удивительным образом всегда получим в ответе комплексное число. Основная теорема алгебры говорит, что любое полиномиальное уравнение имеет решения в виде комплексных чисел. Хотя число i было введено, просто для того, чтобы получить решение одного частного уравнения 1 + x2 = 0. Все остальное мы получили бесплатно!

Математики открывают или изобретают?

􀁺 Множество Мандельброта Вы видите знаменитый математический объект, называемый множеством Мандельброта. Множество Мандельброта чрезвычайно сложно и замысловато устроено, причем «устроено» не человеком. Самое замечательное здесь то, что структура множества целиком и полностью определяется математическим правилом исключительной простоты. Разумеется, математические формы существуют не совсем так, как существуют обычные физические объекты – скажем, столы и стулья. Они не имеют пространственного местоположения, не существуют они и во времени. Объективные математические понятия следует представлять как вневременные объекты; не нужно думать, будто их существование начинается в тот момент, как только они в том или ином виде возникают в человеческом воображении. Замысловатые завитки множества Мандельброта, не были вызваны из небытия в то мгновение, когда кто-то увидел их на экране компьютера или на распечатке. Не возникли они и тогда, когда впервые была выдвинута человеком лежащая в основе множества Мандельброта общая идея. Потому что никто из математиков в начале своих экспериментов не имели сколько-нибудь реального представления о тех изящных тонких узорах, что составляют множество Мандельброта. Эти узоры «существовали» и прежде, они существуют с незапамятных времен и будут существовать всегда – в потенциально вневременном смысле, предполагающем, что в какое бы время, в каком бы месте, какое бы обладающее сознанием существо ни решило исследовать их структуру, оно всякий раз увидит в точности то же самое, что видим сегодня мы с вами.

Сущность математики. Точка зрения Н. Н. Непейводы

Используется концепция Платона, о том, что системы, возникающие в реальном мире, являются реализациями общих Идей.

Математические объекты существуют не в реальном, а в «платоновском» мире Идей. Сами эти Идеи недоступны человеку, поскольку они бесконечно совершенны, а человек несовершенен и ограничен, но математика дает возможность некоторого приближения к ним. Конечно же, эти приближения также несовершенны, но они гораздо более гармоничны внутри себя, чем т. н. «реальный мир», почему и вскрывают самые глубинные свойства этого и других возможных миров. В этом причина непостижимой эффективности математики в приложениях. Но несовершенство человека проявляется в том, что Идеи могут быть реализованы в математике разными способами, противоречащими друг другу, это касается и тех фундаментальнейших Идей, которые лежат в основе логики.

4. Недостатки естественного языка при использовании в математике. Роль формализации математики. Для каких предметных областей мы должны применять математику? Основные задачи математической логики.

Недостатки естественного языка при использовании в математике

• Неточность

• Многозначность

• Сложность

Примеры:

«Я тебе намылю шею» - смысл зависит от контекста.

«Он встретил её на поляне с цветами» - возможны три различных интерпретации. Обычный математический язык = диалект естественного языка (бедный, но более или менее точный) + различные символы + формулы .

Роль формализации математики

• Формализация математики привела к более ясному осознанию природы самой математики, к триумфальному применению ее к

нечисловым и непространственным объектам, таким как, например, гены, естественные и искусственные языки, программы для компьютеров и т. д. Вместе с тем стало ясно и то, когда мы не должны применять математику.

• До тех пор, пока наши знания о некоторой конкретной области не могут быть переведены на формальный математический

язык единообразным методом, мы еще не осознали исходные понятия и их свойства настолько, чтобы применять математические методы.

• В противном случае «математизация» превращается в род шаманства, призванного придать наукообразие тексту. А как только мы сможем точно сформулировать свойства ясно выделенных нами исходных понятий, мы сможем и применять математику для извлечения следствий из этих свойств.

Основные задачи математической логики

• Дать формальный язык для математических утверждений, который допускал бы сравнительно легкий перевод на обычный язык, записи на котором были бы компактны и удобны в обращении.

• Дать четкое и однозначное истолкование суждений формального языка, одновременно как можно более простое и как можно более близкое к естественному математическому пониманию.

Профессия инженеров требует применения формальных языков (в частности, математики), поэтому им необходимо умение переводить реальные задачи на формальный язык, уметь ставить задачу в математической форме.

􀁺 Весьма важно умение отличать доказательное рассуждение от рассуждения с позиции здравого смысла. Поэтому необходимо изучение техники доказательств для развития логического мышления у будущих специалистов в области информатики.

􀁺 По сути, правильно составленная компьютерная программа эквивалентна логическому доказательству. Использовать то или иное приложение (или, в крайнем случае, не ошибиться при его использовании) легче, если понимаешь, как оно работает.

􀁺 Абстрактные понятия и конструкции высокого уровня, применяемые при решении различных инженерных задач (в том числе и в информатике), способны сократить решение и повысить его эффективность в экспоненциальное число раз, тогда как стандартная оптимизация или повышение мощностей техники дает выигрыш лишь в линейное число раз.