35. Обратное отображение. Теорема о существовании обратного отображения (доказательство). Примеры.

Пусть f^–1 – отношение, обратное f. Выясним, при каких условиях отношение f^–1 будет функцией. Его называют тогда обратной функцией или, если f осуществляет отображение множества X во множество Y, обратным отображением.

Теорема 13. Отображение f: X→Y имеет обратное отображение f^–1: Y→X тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство. Если f – биекция, то, поскольку f сюръективно, f^–1 определено на множестве Y. Кроме того, f^–1 - функция, так как если <y, x1>∈ f–1 и <y, x2>∈ f–1, то <x1, y>∈f и <x2, y>∈f, а в силу инъективности f имеем x1 = x2. Пусть теперь отображение f имеет обратное отображение f^–1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно, поскольку любой элемент y∈Y имеет прообраз x∈X. При этом f инъективно, так как если <x1, y>∈f и <x2, y>∈f, то <y, x1>∈ f–1 и <y, x2>∈ f–1, а поскольку f–1 – функция, то x1 = x2.

Заметим что для того, чтобы обратное отношение f^–1 было функцией, достаточно инъективности функции f. Поэтому функция f(x) = x2: R→R, не будучи биекцией, не имеет обратной функции. Эта функция не имеет обратной, если даже она будет отображением на множество неотрицательных вещественных чисел. Поскольку функция есть отношение, то выполняются следующие свойства инъективных функций f и g:

(f–1)–1 = f;

(g°f)–1 = f–1 °g–1.

Если f: X→Y – биекция, то f–1 °f = eX и f ° f–1 = eY.

36. Определение формальной теории. Выводимость. Доказуемые формулы.

Формальная теория T считается определенной, если:

• задано некоторое счетное множество A символов – символов теории T; конечные последовательности символов теории T называются выражениями теории T (множество выражений обозначают через A*);

• имеется подмножество F ⊂ A* выражений теории T, называемых формулами теории T;

• выделено некоторое множество B ⊂ F формул, называемых аксиомами теории T;

• имеется конечное множество {R1, R2, …, Rm} отношений между формулами, называемых правилами вывода. Правила вывода позволяют получать из некоторого конечного множества формул другое множество формул.

Комментарии к определению формальной теории

• Множество символов A − алфавит теории − может быть конечным или бесконечным. Обычно для образования символов используют конечное множество букв, к которым, если нужно, приписывают в качестве индексов натуральные числа.

• Множество формул F обычно задается индуктивным определением, например, с помощью формальной грамматики.

Как правило, это множество бесконечно. Множества A и F в совокупности определяют язык формальной теории.

• Множество аксиом B может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задается с помощью конечного множества схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом.

Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические (или собственные) аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории).

• Обычно для формальной теории имеется алгоритм, позволяющий по данному выражению определить, является ли оно формулой. Точно так же чаще всего существует алгоритм, выясняющий, является ли данная формула теории T аксиомой; в таком случае T называется эффективно аксиоматизированной теорией.

Выводимость

Пусть A1, A2,…, An, A − формулы теории T. Если существует такое правило вывода R, что < A1, A2,…, An, A> ∈ R, то говорят, что формула A непосредственно выводима из формул A1, A2,…, An по правилу вывода R. Обычно этот факт записывают следующим образом:

R

A

A1, A2,..., An

где формулы A1, A2,..., An называются посылками, а формула A − заключением.

Выводом формулы A из множества формул Γ в теории T называется такая последовательность F1, F2,..., Fk , что A = Fk, а любая формула Fi (i < k) является либо аксиомой, либо Fi∈Γ, либо непосредственно выводима из ранее полученных формул

• Если в теории T существует вывод формулы A из множества формул Γ, то это записывается следующим образом:

Γ |− T A, где формулы из Γ называются гипотезами вывода. Если теория T подразумевается, то её обозначение обычно опускают.

• Если множество Γ конечно: Γ = {B1, B2,..., Bn}, то вместо {B1, B2,..., Bn}|− A пишут B1, B2,..., Bn|− A.

• Если Γ есть пустое множество ∅, то A называют теоремой (или доказуемой формулой) и в этом случае используют сокращенную запись |− A («A есть теорема»).

• Отметим, что в соотношении {теоремы} ⊂ {формулы} ⊂ {выражения} включение множеств является строгим.

• Приведем несколько простых свойств понятия выводимости из посылок.

1. Если Γ⊆Σ и Γ |− A, то Σ |− A.

2. Γ |− A тогда и только тогда, когда в Γ существует конечное подмножество Σ, для которого Σ |− A.

3.Если Σ |− A и Γ|− B для любого B из множества Σ, то Γ |− A.

• Понятие формальности можно определить в терминах теории алгоритмов: теорию T можно считать формальной, если построен алгоритм для проверки правильности рассуждений с точки зрения принципов теории T.

• Это значит, что если некто предлагает математический текст, являющийся, по его мнению, доказательством некоторой теоремы в теории T, то, механически применяя алгоритм, мы можем проверить, действительно ли предложенный текст соответствует стандартам правильности, принятым в T.

• Таким образом, стандарт правильности рассуждений для теории T определен настолько точно, что проверку его соблюдения можно передать вычислительной машине (следует помнить, что речь идет о проверке правильности готовых доказательств, а не об их поиске!).

• Если проверку правильности доказательств в какой-либо теории нельзя передать вычислительной машине, и она доступна в полной мере только человеку, значит, еще не все принципы теории аксиоматизированы.