38. Математическая индукция. Индуктивные определения. Принцип индукции по построению объекта. Пример доказательства с математической индукцией.

Принцип математической индукции

Если какое-то высказывание P(n), зависящее от натурального параметра n, доказано для n = 0 и при произвольном n удается из истинности P(n) обосновать истинность P(n+1), то P(n) истинно для всех n.

Пример. Доказать, что сумма трех последовательных кубов натуральных чисел делится на 9.

• Базис индукции. 13+23+33 = 36 и делится на 9.

• Индуктивный переход. Чтобы произвести индуктивный переход, нужно предположить доказываемое утверждение для n и затем доказать его для n+1. Пусть n3 + (n+1)3 + (n+2)3 делится на 9. Тогда (n+1)3 + (n+2)3 + (n+3)3 = (n+1)3 + (n+2)3 + n3 +9n2 +27n +27 = (n3+(n+1)3 + (n+2)3)+(9n2 +27n +27).

Но все слагаемые в последней скобке делятся на 9, а первая скобка делится на 9 по предположению, значит, и исходная сумма делится на 9. Таким образом, мы установили, что делимость суммы, начинающейся с n, влечет делимость суммы, начинающейся с n+1.

• Следовательно, утверждение доказано для всех n.

Математическая индукция формально

В математической индукции имеется

• индуктивный базис – утверждение, что свойство выполнено для самого маленького из рассматриваемых чисел, и

• индуктивный переход – обоснование перехода от числа n к числу n+1.

Математическая индукция выражается формулой

A(0) & ∀n (A(n) ⊃ A(n+1)) ⊃ ∀n A(n)

Принцип математической индукции – единственное средство в математике, с помощью которого можно доказывать свойства бесконечных множеств.

Индуктивные определения

Базис индукции. Выражение вида A есть B.

Индуктивный переход. Если мы имеем выражения A1, …, An типа B, то C, построенное из них, также есть выражение типа B. С каждым индуктивным определением связан принцип индукции по построению объекта типа B.

Базис индукции. Каждый объект вида A обладает свойством θ.

Индуктивный переход. Если A1, …, An обладают свойством θ, то и C (построенный из A1, …, An) им обладает.

Заключение индукции. Тогда любой объект типа B обладает свойством θ.

Этот принцип является логическим выражением следующего неявного пункта, присутствующего в любом индуктивном определении: никаких других объектов типа B, кроме полученных применением правил его определения, нет. Иными словами, множество объектов типа B – минимальное из тех, которые включают базисные объекты и замкнуты относительно индуктивного перехода. В простых определениях эту минимальность можно выразить следующим образом: объект должен получаться из базисных конечным числом применений шагов определения.

Примеры индуктивных определений

• Определение термов (в языке первого порядка):

а) переменные и константы суть (атомарные) термы;

б) если f − операция местности n, а t1, t2, ..., tn − термы, то f(t1, t2, ..., tn) − терм.

• Определение формул (в языке первого порядка):

а) если P − предикат местности n, а t1, t2, ..., tn − термы, то P(t1, t2, ..., tn) есть (атомарная) формула;

б) если P, Q суть формулы, x − переменная, то выражения (P)~(Q), (P)⊃(Q), (P)∨(Q), (P)∧(Q), ¬(P), ∀x(P), ∃x(P) суть

формулы.

Пример индукции по построению

Используя индуктивное определение формул, с помощью индукции по построению докажем

Теорему 2. (правило равносильных преобразований). Пусть CA – формула, содержащая A в качестве своей подформулы. Пусть CB получается из CA заменой A в этом вхождении на B. Тогда, если A≡B, то CA≡CB .

Лемма 1. Пусть A≡B и C – произвольная формула. Тогда ¬A≡¬B, A&C≡B&C, C&A≡C&B, A∨C≡B∨C, C∨A≡C∨B, A⊃C≡B⊃C, C⊃A≡C⊃B, A~C≡B~C, C~A≡C~B.

Доказательство. Докажем, например, равносильность A⊃C≡B⊃C. Пусть на произвольном наборе истинностных значений пропозициональных переменных формулы A и B принимают одинаковое истинностное значение (скажем, s). Пусть t – значение C на этом распределении истинностных значений. Обе части рассматриваемой равносильности принимают одно и то же значение s⊃t.

Лемма 2. Пусть A≡B и C – формула, в которой выделено одно вхождение переменной X. Пусть CA получается из C заменой этого вхождения X на A, а CB – из C заменой того же вхождения X на B. Тогда CA≡CB.

Доказательство леммы 2. Проведем индукцию по построению формулы C.

• Базис индукции. Если формула C является просто пропозициональной переменной, то она должна совпадать с X

(так как в ней имеется вхождение переменной X). В этом случае CA есть A, CB есть B, CA≡CB - не что иное, как A≡B.

• Индуктивный переход. Пусть теперь формула C является составной. Она имеет вид ¬D, или D&E, или D∨E, или D⊃E, или D~E, причем в первом случае выделенное вхождение X содержится в D, а в остальных случаях – либо в D, либо в E, но не в D и E сразу. Рассмотрим, например, случай, когда C имеет вид D⊃E и выделенное вхождение X содержится в D. По индуктивному предположению утверждение леммы справедливо для D. Заменяя X в этом вхождении в D на A и B, получаем соответственно формулы DA и DB. Ясно, что CA есть DA⊃E, а CB есть DB⊃E. Имеем DA≡DB. Применим теперь лемму 1 в случае A⊃C≡B⊃C, где в роли A выступает DA и в роли B – DB, в роли C – E. В результате получаем CA≡CB. Другие случаи рассматриваются аналогично.

Доказательство теоремы.

Рассмотрим произвольную переменную X и получим формулу C из CA заменой A на X. Будем считать это вхождение X в C выделенным. Тогда C, A, B, CA, CB удовлетворяют условиям леммы 2, а значит, CA≡CB.

Софизм

Применение математической индукции, конечно же, содержит много тонкостей.

Задача. Все лошади одной масти.

То, что все лошади одной масти, можно доказать индукцией по числу лошадей в определенном табуне.

• Если существует только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции тривиальна.

• Для индуктивного перехода предположим, что существует n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n–1 одинаковой масти и, аналогично, лошади с номерами от 2 до n имеют одинаковую масть. Но лошади посередине с номерами с 2 до n–1 не могут изменять масть в зависимости от того, как они сгруппированы – это лошади, а не хамелеоны. Поэтому лошади с номерами от 1 до n также должны быть одинаковой масти. Таким образом, все n лошадей одинаковой масти. Что и требовалось доказать.