14. Примеры нестандартной оценки истинности автореферентных (самоссылочных высказываний). Пример Клини для конъюнкции. Примеры для отрицания.

• Пример Клини. В самом деле, математически A & B и B & A означает одно и то же, а содержательно высказывания «Маша вышла замуж, и у нее родился ребенок» и «У Маши родился ребенок, и она вышла замуж» понимаются несколько по-разному.

• Другим контрпримером является использование связки «и» для автореферентных (самоссылаюшихся) высказываний: A: «У людей на руке пять пальцев» – истина; B: «В этом предложении пять слов» – истина; A&B: «У людей на руке пять пальцев, и в этом предложении пять слов» – ложь.

Истинность отрицания самоссылочного предложения не зависит от истинности самогккккккккккуо предложения.

• Два предложения верны, несмотря на то, что каждое из них противоречит другому. Восьмым словом в этом предложении является частица «не». Восьмым словом в этом предложении не является частица «не».

• Несмотря на то, что два предложения противоположны друг другу, они оба неверны. Число слов в записанном здесь предложении не равно девяти. Связки &, ∨, ⊃, ~ и ¬ называются связками исчисления высказываний или пропозициональными связками.

15. Логические связки: эквиваленция, импликация (обоснование таблицы истинности для импликации). Какие утверждения при переводе на формальный язык используют импликацию и эквиваленцию.

Связка «следует» «Из A следует B» символически записывается A ⊃ B или A → B. Знак ⊃ называется импликацией. Другими вариантами содержательных утверждений, точно так же переводящихся, служат:

• «A достаточное условие для B»,

• «B необходимое условие для A»,

• «A, только если B»,

• «B, если A»,

• «в случае А выполнено и B»,

• «A есть B»,

• «A влечет B».

Правила вычисления истинностного значения A ⊃ B нуждаются в комментариях. Они опираются на содержательный смысл связки ⊃ : из А можно сделать вывод (вывести следствие) B, и на наши гипотезы (соглашения 1–3). Утверждение A ⊃ B ложно в том и только в том случае, когда A истинно и B ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Связка «тогда и только тогда»

«A тогда и только тогда, когда B» символически записывается A~B. Знак ~ называется эквивалентность (или эквиваленция). Той же связкой переводятся предложения:

• «A эквивалентно B»,

• «A необходимое и достаточное условие для B»,

• «если A, то B и наоборот» и т. п.

Утверждение A~B истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения A и B совпадают, и ложно в противном случае. Очевидно, можно считать, что A~B есть сокращенная запись формулы (A ⊃ B) & (B ⊃ A).

16. Логические связки: квантор общности и квантор существования. Язык первого порядка.

Квантор «для всех» Утверждение «для всех x верно A(x)» символически записывается ∀x A(x). Символ ∀ называется квантором всеобщности (или универсальным квантором). Эта же связка используется при переводе утверждений:

• «A верно при любом значении x»,

• «для произвольного x имеет место A(x)»,

• «каково бы ни было x, A(x)»,

• «для каждого x (верно) A(x)»,

• «всегда имеет место A(x)»,

• «каждый обладает свойством A»,

• «свойство A присуще всем» и т.п.

Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(c) истинно, какой бы конкретный предмет c из универсума нашей теории мы ни подставляли вместо x. Утверждение ∀x A(x) истинно тогда и только тогда, когда A(x) истинно при любом фиксированном значении x. Утверждение ∀x A(x) ложно тогда и только тогда, когда имеется хоть один предмет c из нашего универсума (другими словами, хотя бы одно значение x), такой, что A(c) ложно. В том случае, когда универсум содержит бесконечное множество значений, то нет никакой переборной процедуры, которая помогла бы проверить истинность ∀x A(x); только математическое доказательство позволяет нам единым образом обозреть все это бесконечное множество и получить точный ответ.

Квантор «существует» Утверждение «существует такое x, что A(x)» символически записывается ∃x A(x). Знак ∃ называется квантором существования. Эта же связка применяется при переводе утверждений:

• «A(x) верно при некоторых x»,

• «A(x) иногда верно»,

• «есть такое x, при котором A(x)»,

• «можно найти такое x, при котором A(x)»,

• «у некоторых вещей есть признак A»,

• «по крайней мере один объект есть A» и т.п.

Высказывание ∃x A(x) истинно, если в нашем универсуме найдется хотя бы одно значение c, при котором A(c) истинно. ∃x A(x) ложно, если при любом значении c ложно A(c). Нахождение истинностного значения ∃x A(x) также может составлять проблему. Например, натуральное число n называется совершенным, если сумма его делителей (исключая самого n) равна n. Например, 6 – совершенное число, так как 6 = 1+2+3. Проблема «существует ли нечетное совершенное число?» стоит со времен античности, и не видно способа ее решить. Заметим, что утверждение ∃x A(x) не отрицает того, что ∀xA(x). Кванторы ∃ и ∀ всегда употребляются вместе с переменной и заставляют ее пробегать весь универсум. Готлоб Фреге (1879 г.) был первым, кто ввел в язык логики предикаты, предметные переменные и кванторы. Выразительные средства языка, который мы описываем, принципиально ограничены в одном важном отношении: нет возможности говорить о произвольных свойствах объектов теории, т. е. о произвольных подмножествах множества всех объектов. Синтаксически это отражается в запрете формулировать выражения, скажем, вида ∀P(P(x)), где P − предикат. Предикаты обозначают фиксированные, а не переменные свойства. Поэтому данный язык называется языком логики предикатов первого порядка (или просто языком первого порядка).

17. Свободные и связанные переменные. Замкнутые формулы.

• В античной математике переменные (формальные) практически не использовались. Под влиянием Виета в конце 16 столетия переменные стали стандартным инструментом математики. Было, однако, много недоразумений по поводу природы переменных.

• Фреге и Пирс прояснили истинную природу переменных: это – синтаксические объекты, и следует различать свободные и связанные переменные.

• Свободная переменная – это синтаксический объект, встречающийся в некотором контексте, вместо которого можно подставлять другие синтаксические объекты. Когда терм, содержащий свободные переменные, интерпретируется в некотором универсуме M, нужно выбрать элементы предметной области M, чтобы интерпретировать эти переменные. С другой стороны, связанные переменные не допускают ни подстановки, ни выбора интерпретации. Введение кванторов общности и существования приводит снова к противопоставлению свободных и связных вхождений переменной в термы и формулы.

• Всякое вхождение переменной в элементарную формулу или терм свободно.

• Всякое вхождение переменной в ¬P или в P 􀀀 Q (􀀀 – любая пропозициональная связка) свободно (соответственно связанно) в точности тогда, когда свободно (соответственно связано) соответствующее вхождение в P или Q.

• Всякое вхождение переменной x в ∀xP и ∃xP связано.

• Вхождения остальных переменных в ∀xP и ∃xP таковы же, как соответствующие вхождения в P.

Пример В формуле ∀x(P(x,y)⊃∃y B(y,x))&C(x,y,z) первые два вхождения переменной x связаны квантором ∀; вхождение переменной y в P(x,y) свободно, а вхождение y в B(y,x) связано квантором ∃; переменные x, y и z входят в C(x,y,z) свободно.

• Пусть дано вхождение квантора ∀ (или ∃) в формулу P. Из определений следует, что вслед за ним в P входит переменная и некоторая подформула Q (которая является либо элементарной формулой, либо начинается с открывающей скобкой). Выражение xQ, начинающееся с этой переменной и кончающееся соответствующей закрывающей скобкой, называется областью действия данного (вхождения) квантора.

• Теперь мы можем ввести важный класс замкнутых формул. По определению, это – формулы без свободных переменных.

• Интуитивный смысл понятия замкнутой формулы таков. Оно отвечает вполне определенному (в частности, в отношении истинности или ложности) высказыванию: имена неопределенных объектов теории используются только в контексте «все объекты x удовлетворяют условию ...» или «существует объект x со свойством ...».

• Наоборот, незамкнутая формула A(x) или ∃x A(x,y) может быть истинной или ложной в зависимости от того, какие предметы нарекаются именами x (для первой); y (для второй). Истинность или ложность понимаются здесь для фиксированной интерпретации языка.