38
Матрица этого оператора обозначается 0 и состоит из одних нулей, так
что
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0= |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
. |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Действия над линейными операторами
Над линейными операторами, определяемыми в линейном пространстве, можно производить различные действия, приводящие к новым линейным операторам. Рассмотрим здесь действия сложения операторов, умножения на число и умножения операторов друг на друга.
1. Сложения линейных операторов
D D
Пусть в пространстве L заданы линейные операторы A и B.
D D
Определение. Суммой операторов A и B в пространстве L называется
D
такой оператор C, для которого выполняется равенство
D D D
Cx =Ax +Bx,
где x – любой вектор из L.
Можно показать, что сумма линейных операторов является линейным
D
оператором, причем его матрица C равна сумме матриц A и B операторов A
D
иB, то есть C =A+B.
2.Умножение линейного оператора на число
D
Определение. Произведением линейного оператора A на число α
39
D
называется оператор αA, определяемый равенством
α AD x=αAD x,
где x – любой вектор из L.
D
Можно показать, что оператор αA является линейным оператором, а его матрица равна произведению числа α на матрицу оператора A, то есть αA.
3. Умножение линейных операторов
D
Применим к произвольному вектору x из L сначала оператор A, а затем
D
оператор B, получим вектор x′
x′=BD AD x .
D
Определение. Оператор C, переводящий вектор x непосредственно в x′,
D D
называется произведением оператора B на оператор A, т.е. для всех векторов x из L имеет место равенство
CD x=BD AD x ,
D D D
при этом используется запись C=BA.
Можно показать, что произведение линейных операторов есть снова линейный оператор, а его матрица C равна произведению матриц этих операторов, взятых в порядке, обратном действию операторов, то есть
C =BA.
40
4. Сопряженный оператор
Определение. Оператор A* называется сопряженным по
D
отношению к оператору A, если для любых векторов x и y из пространства L выполняется равенство
AD x,y =(x,A*y).
D
Можно показать, что если оператор A линейный, то у него существует единственный сопряженный оператор A* . При этом, если матрица
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
a1m |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
a2m |
A= |
|
a31 |
a32 |
a33 |
a3m |
|
|
an1 |
an2 |
an3 |
anm |
D
является матрицей оператора A, то матрицей оператора A* является матрица
|
|
a11 |
a21 |
a31 |
an1 |
|
|
|
|
a12 |
a22 |
a32 |
an2 |
|
|
A* = |
|
a |
a |
a |
a |
|
. |
|
|
13 |
23 |
33 |
n3 |
|
|
|
|
a1m a2m a3m |
anm |
|
|
||
Такая матрица A* называется сопряженной по отношению к матрице
D
A. При этом, если оператор A действует из L в L, то m=n.
41
Можно показать, что имеет место следующая теорема.
Теорема (Альтернатива Фредгольма)
Пусть A – линейный оператор, который действует из евклидова пространства R на евклидово пространство R, а A* – оператор, сопряженный
D
по отношению к оператору A. Тогда или уравнение
D
Ax =y ,
где x и y – произвольные вектора из R, имеет единственное решение, или уравнение
A*x =0
имеет, по крайней мере, одно ненулевое решение.
D
Определение. Линейный оператор A называется самосопряженным (или
Эрмитовым), если он совпадает со своим сопряженным, т.е. если для любого вектора x из L выполняется равенство
D
Ax =A*x.
Определение. Квадратная матрица A называется симметричной, если
для ее элементов выполняется равенство
a |
=a |
ji |
, |
i, j=1,2,3,...,n . |
|
ij |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
D |
Можно показать, что |
матрица |
A самосопряженного оператора A |
|||
симметричная.