33
Если же ввести в рассмотрение матрицу
|
|
|
x1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′ |
|
|
x2′ |
|
|
|
X |
= |
|
# |
|
|
(3.4) |
|
|
|
xn′ |
|
|
|
и воспользоваться понятием равенства матриц, то система (3.1) может быть записана в виде
′ |
(3.5) |
A X =X . |
§ 2. Примеры линейных операторов
Отметим матричную запись указанных выше свойств линейных операторов линейного пространства:
1. Образ суммы векторов равен сумме образов складываемых векторов.
Если X1 и X2 – одностолбцовые матрицы, соответствующие складываемым
векторам, то
A (X1 +X2 )=AX1 +AX2 .
2. Если λ – произвольное число, а X – одностолбцовая матрица, соответствующая данному вектору, то
A(λX)=λ AX.
Наибольший интерес представляют такие операторы, при которых для каждого вектора (точки) существует единственный прообраз. Это значит, что уравнение (3.5) должно быть разрешено относительно X при любом X′. Ранее было показано, что это возможно только в том случае, если матрица A
34
неособенная. В этом случае можем написать
X =A−1X′.
Если матрица A неособенная, то соответствующий линейный оператор является невырожденным. Он преобразует (причем взаимно однозначно) пространство в себя самого, то есть каждая его точка является образом его некоторой единственной точки. Если матрица A особенная, то соответствующий линейный оператор является вырожденным. При вырожденном линейном операторе линейное пространство преобразуется в некоторую свою часть.
Примеры линейных операторов
Приведем наиболее известные примеры линейных операторов и соответствующие им матрицы.
1. Поворот плоскости Ox1x2 вокруг начала координат на угол ϕ против
→ →
часовой стрелки, так что произвольный вектор OA переходит в вектор OA′. Для вывода формул преобразования координат сделаем чертеж (рис.1).
Рис. 1
35
Обозначим через x1, x2 и x1′, x2′ соответственно координаты векторов
→→
OA и OA′. Непосредственно видно, что
′ |
′ |
cosϕ |
+α |
) |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
||
x |
=OA |
=OA cosα cosϕ−OA |
sinα sinϕ; |
|||||||||||||
1 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
sin ϕ+α |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|||
x |
=OA |
|
=OA cosα sinϕ+OA sinα cosϕ. |
|||||||||||||
2 |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
=OA и |
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что OA |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 =OA cosα ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 =OA sinα, |
|
|||||||||
получаем формулы преобразования координат |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x1′ = x1 cosϕ−x2 sinϕ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2′ = x1 sinϕ+x2 cosϕ, |
|
|||||||||||
а тогда для матрицы оператора имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
cosϕ |
−sinϕ |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ |
cosϕ |
|
|
|
|
|
2. Растяжение вдоль оси Ox1 в k1 раз, а вдоль оси Ox2 , в k2 раз. Формулы преобразования координат в этом случае имеют вид:
x1′=k1x1;
x2′ =k2 x2,
а матрица оператора
A = |
|
k1 |
0 |
|
. |
|
|
0 |
k2 |
|
|
36
Рис.2
3. Зеркальное отражение относительно оси Ox2 . В этом случае формулы преобразования имеют вид
|
|
|
x′ |
=−x ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
=x2 |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||
матрица оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A = |
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
а на чертеже (рис.2) произвольной |
|
|
точке M(x1, x2 ) будет соответствовать |
|||||||||
точка M |
1( |
1 2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Поворот в обычном трехмерном пространстве Ox1x2 x3 на угол ϕ вокруг оси Ox3 . Формулы преобразования координат имеют в этом случае следующий вид
x1′=x1 cosϕ−x2 sinϕ;
x2′ =x1 sinϕ+x2 cosϕ;
x3′=x3,
37
а матрица оператора
A = |
|
cosϕ |
−sinϕ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sinϕ |
cosϕ |
0 |
|
|
|
. |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Тождественный оператор. Так называется оператор, при котором преобразование координат определяется формулами
x1′ = x1; x2′ =x2;
xn′ =xn,
и, следовательно, матрица оператора в любом базисе имеет вид
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
E= |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
. |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Нулевой оператор. Для всех векторов |
(x1, x2,..., xn )из Rn |
имеем |
|
x1′ =0, x2′ =0,
xn′ =0.