29
Глава 3. Линейные операторы
§1. Определение линейного оператора
Вобщем курсе математического анализа изучаются функции одного или нескольких вещественных переменных. Например, в случае функции трех вещественных переменных можно говорить о функции, аргументом которой является свободный вектор трехмерного пространства. Ниже мы будем изучать функции, аргументом которых будет вектор произвольного линейного пространства. Причем мы рассмотрим простейшие типы таких функций, а именно линейные функции. При этом линейные числовые функции векторного аргумента, т.е. функции, значения которых суть числа называют линейными формами (функционалами), а линейные векторные функции векторного аргумента, значения которых суть векторы называют линейными операторами (отображениями, преобразованиями).
Пусть заданы два различных непустых множества X и X ′, элементы которых будем обозначать буквами соответственно x и x′.
Определение 1. Правило (закон), по которому любому элементу x X
ставится в соответствие единственный элемент x′ X ′ называется оператором, действующим из X в X ′.
D
Если оператор обозначить буквой A, то результат x′ его применения к элементу x записывают в виде
D
x′=Ax.
D
Множество X называется областью определения оператора A ,
элемент x′ при этом называется образом элемента x , а сам элемент x –
прообразом элемента x′. Совокупность всех образов называется областью
D
значений оператора A . Если каждый элемент x′ X ′ имеет только один
30
|
D |
|
прообраз, |
то оператор A называется |
взаимно однозначным. Множество |
|
|
D |
элементов |
x X , удовлетворяющих равенству Ax =0, называются ядром |
|
|
D |
|
оператора A . |
|
|
Будем в дальнейшем под X и X ′ |
понимать линейное пространство L. |
|
D
Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых дух векторов x и y из L и произвольного числа α выполняются условия:
D D D
1. A(x+y)=Ax+Ay (аддитивность);
DD
2.A(αx)=αAx (однородность).
D
Покажем, что любой линейный оператор A можно задать, указав некоторый набор чисел. Действительно, выберем в пространстве L некоторый базис e1,e2,...,en и обозначим через x произвольный вектор из L, а через x′
его образ, то есть
D
x′=Ax.
Выпишем разложения векторов x и x′ по выбранному базису
x = x1e1 +x2e2 +...+xnen x′= x1′e1 +x2′e2 +...+xn′en ,
где x1, x2,..., xn и x1′, x2′,..., xn′ координаты векторов соответственно x и x′ в
базисе e1,e2,...,en . Если подставить первое из последних равенств в правую
D
часть предыдущего равенства и использовать линейность оператора A , то получим
D D D
x′= x1 Ae1 +x2 Ae2 +...+xn Aen .
31
D D D
Векторы Ae1, Ae2, ..., Aen принадлежат пространству L и,
следовательно, в выбранном базисе можем написать
AD e1=a11e1+a21e2 +...+an1en,
D
Ae2 =a12e1+a22e2 +...+an2en,
D
Aen =a1ne1+a2ne2 +...+annen,
D
где a1k ,a2k ,...,ank (k=1,2,3,...,n) – координаты вектора Aek в базисе e1,e2,...,en . Подставив последние равенства в правую часть предыдущего
равенства и, используя разложение вектора x′ в выбранном базисе, получим
x1′e1 +x2′e2 +...+xn′en =(a11x1 +a12 x2 +...+a1n xn )e1 +
+ (a21x1 +a22 x2 +...+a2n xn )e2 +(an1x1 +an2 x2 +...+ann xn )en .
Используя единственность разложения вектора в данном базисе, приравняем коэффициенты при базисных векторах в левой и правой частях последнего равенства. При этом получим
x′ |
=a |
x |
+a |
x |
+...+a |
x |
, |
|
|
1 |
|
11 |
1 |
12 |
2 |
1n |
|
n |
|
′ |
|
= a21x1+a22 x2 +...+a2n xn, |
|
||||||
x2 |
(3.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= an1x1+an2 x2 +...+annxn. |
|
||||||
xn |
|
||||||||
Непосредственно из формулы (3.1) видно, что правило перехода от |
|||||||||
вектора x x1, x2,..., xn |
|
к |
вектору |
x′(x1′, x2′,..., xn′ ) или |
от точки |
||||
M(x1,x2,...,xn ) к новой |
|
точке |
M1(x1′,x2′,...,xn′) |
полностью |
определяется |
||||
Иногда апеллируя к привычным геометрическим представлениям, элементы линейного пространства называют не векторами, а точками; естественно, такое изменение названия не влечет никаких изменений в содержании изложенного.
32
квадратной матрицей
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
A = |
|
a21 |
a22 |
a2n |
|
, |
(3.2) |
|
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
|
составленной из коэффициентов формул (3.1).
Определение. Матрица A называется матрицей линейного оператора
D
A в базисе e1,e2,...,en , а сам этот оператор называют оператором с матрицей
A в базисе e1,e2,...,en .
Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу
|
|
x1 |
|
|
X = |
|
x2 |
|
(3.3) |
|
|
# |
|
|
|
|
xn |
|
|
и вычислить произведение матриц
a11x1+a12 x2 +...+a1nxn A X = a21x1+a22 x2 +...+a2nxn ,
an1x1+an2 x2 +...+ann xn
то получим одностолбцовую матрицу, элементами которой являются суммы, стоящие в правых частях равенств (3.1).