§ 3. Собственные векторы симметричных операторов

59

является симметричным оператором.

D

Теорема. Собственные векторы симметричного оператора A, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Доказательство. Пусть имеют место равенства

Умножим равенство (6.8) скалярно на x2 , а (6.9) на x1 и вычтем второе из первого. Тогда можем написать

D

Так как оператор A симметричный, то левая часть равенства (6.10) равна нулю, а это значит, что при λ1 ≠λ2 выполняется равенство (x1,x2 )=0, что и

требовалось доказать.

Примем без доказательства следующие теоремы.

D

Теорема. Симметричный оператор A в n-мерном евклидовом пространстве

R имеет n взаимно ортогональных собственных векторов.

Теорема. Если матрица A симметрична, то соответствующее ей характеристическое уравнение (6.4) не имеет комплексных корней. Каждому вещественному корню λ уравнения (6.4) отвечает ровно столько линейно независимых решений системы (6.3), какова кратность корня λ.

60

Глава 7. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть в n-мерном линейно пространстве задан произвольный базис e1, e2, ..., en , так что произвольные вектора x и y имеют соответственно

координаты x1, x2, ..., xn и y1, y2, ..., yn .

Определение. Числовая функция A(x,y) от двух векторных аргументов

x и y в линейном пространстве R называется билинейной функцией или

билинейной формой, если она является линейной функцией от x при каждом фиксированном значении y и линейной функцией от y при каждом фиксированном значении x .

Можно показать, что любая билинейная форма в n-мерном линейном пространстве имеет вид

где aik (i,k=1,2,...,n)– фиксированные числа.

Коэффициенты aik образуют матрицу

которую называют матрицей билинейной формы A(x,y) в базисе

e1, e2, ..., en .

61

Определение. Билинейная форма A(x,y)называется симметричной, если

для любых векторов x и y выполняется равенство

A(x,y)= A(y,x).

Если билинейная форма A(x,y) симметрична, то ее матрица в любом

базисе e1, e2, ..., en пространства R тоже симметрична. Справедливо и обратное утверждение.

Определение. Квадратичной формой в линейном пространстве R

называется функция A(x,x) от одного векторного аргумента x R,

которая получается из билинейной формы A(x,y)заменой y на x .

Другими словами, выражение вида

Φ(x1, x2,..., xn )=a11x12 +2a12 x1x2 +2a13x1x3 +...+2a1n x1xn + +a22 x22 +2a23x2 x3 +...+2a2n x2 xn + +a33x32 +...+2a3n x3xn +

+ +

+ann xn2 , (7.1)

содержащее только квадраты координат x1, x2, ..., xn и все их попарные произведения, называют квадратичной формой n координат x1, x2, ..., xn , а

числа aij (i, j=1,2,...,n) – коэффициентами квадратичной формы (7.1).

62

В слагаемых, содержащих произведения координат с различными номерами, специально выделим множитель 2, ибо выражение

Φ(x1, x2,..., xn )=a11x12 +a12 x1x2 +a13x1x3 +...+a1n x1xn + +a21x2 x1 +a22 x22 +a23x2 x3 +...+a2n x2 xn +

an1xn x1 +an2 xn x2 +an3xn x3 +...+ann xn2

(7.2)

Из коэффициентов квадратичной формы Φ(x1, x2, ..., xn ), записанной в виде (7.2), составим симметричную матрицу

которую назовем матрицей квадратичной формы Φ(x1, x2, ..., xn ) в базисе

e1, e2, ..., en .

причем из ее координат можно составить симметричную матрицу

Используя операцию произведения матриц, можем записать (7.5) в виде произведения однострочной матрицы на одностолбцовую

Φ(x1, x2 )= x1 x2 a11x1+a12x2 . a21x1+a22x2

В свою очередь второй множитель можно представить в виде произведения квадратной матрицы на одностолбцовую так, что сможем написать

64

где A определяется равенством (7.3), а X означает одностолбцовую матрицу, элементами которой являются координаты x1, x2, ..., xn . Будем считать числа

x1, x2, ..., xn координатами некоторого вектора x евклидова пространства

R, имеющего базис e1, e2, ...,en в котором скалярное произведение векторов x(x1, x2, ..., xn )и y(y1, y2, ..., yn )определено по формуле

(x,y)=x1y1 +x2 y2 +...+xn yn ,

а симметричную матрицу A – матрицей некоторого линейного оператора. Рассмотрим случай, когда вещественные собственные числа

матрицы A различны. В этом случае все собственные векторы

взаимно ортогональны и, следовательно, их можно принять за новый базис.

65

Обозначим через e1′, e′2, ..., e′n базис из единичных собственных

векторов матрицы A. Ранее было показано, что если через X′ обозначить одностолбцовую матрицу, элементами которой являются координаты x1′, x2′, ..., xn′ , вектора x в базисе e1′, e′2, ..., e′n , а через T – матрицу поворота, то имеет место формула

Перейдем в квадратичной форме Φ от координат x1, x2, ..., xn к новым координатам x1′, x2′, ..., xn′ . Для этого подставим (7.10) в (7.9)

Φ=XT A X =(TX′)T A(TX′).

Учитывая, что транспонирование произведения двух матриц равносильно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Запишем предыдущее, равенство в виде

Φ=(X′)T TT ATX′.

Обозначив через B1 матрицу квадратичной формы в базисе e1′, e′2, ..., e′n , сможем написать

Так как базис e1′, e′2, ..., e′n состоит из единичных собственных векторов рассматриваемого линейного преобразования, то матрица B2 диагональная,

при этом элементами диагонали являются ее собственные числа λ1, λ2, ..., λn .

Сравнивая правые части равенств (7.11) и (7.12), и учитывая, что матрица T

ортогональная, то есть TT =T−1, можем утверждать, что B1 =B2 и,

следовательно, матрица B1 тоже диагональная с элементами λ1, λ2, ..., λn , а

это значит, что квадратичная форма Φ имеет вид

Φ=λ1x1′2 + λ2 x2′2 + ...+ λn xn′2 .

Сформулируем последовательность действий, которые нужно произвести для приведения квадратичной формы к диагональному виду и получения формул перехода:

1. По квадратичной форме построить симметричную матрицу A.

корни (имеется n вещественных корней, которые будем считать различными).

3.Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

4.Подставить собственное значение λ1 в систему

(a11−λ)x1+a12 x2 +...+a1n xn =0;

a21x1+(a22 −λ)x2 +...+a2n xn =0;

an1x1+an2 x2 +...+(ann −λ)xn =0

67

и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни различны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

5. Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами

6. Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

7.Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

8.Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7,

x1=e11x1′+e12 x2′ +...+e1n xn′;

x2 =e21x1′+e22 x2′ +...+e2n xn′;

xn =en1x1′+en2 x2′ +...+enn xn′.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий вышеприведенный алгоритм.

Пример 1. Привести квадратичную форму Φ=11x2 −20xy −4y2 к

каноническому виду и найти соответствующее ортогональное преобразование. Решение. Выпишем вначале матрицу квадратичной формы

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение

λ2 −7λ−144 =0,

68

корни которого равны 16 и – 9. Примем для определенности, что λ1 =16, а

λ2 =−9 . Тогда данная квадратичная форма имеет следующий канонический вид (в новых координатах x′, y′):

Φ(x′; y′)=16x′2 −9y′2 .

Для определения собственных векторов имеем две системы уравнений

Обратите внимание на то, что в каждой системе одно из уравнений есть следствие другого. Для отыскания первого собственного вектора положим в первом

собственный, но не единичный. Чтобы получить единичный собственный вектор e1′, следует разделить обе координаты вектора E1 на его длину, т.е. на

В результате получим