- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение линейного пространства
- •§ 3. Свойства линейного пространства
- •§ 4. Линейная зависимость
- •§ 5. Базис и координаты
- •§ 6. Размерность
- •§ 7. Подпространства
- •Глава 2. Евклидовы пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение евклидова пространства
- •§ 3. Длина вектора
- •§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
- •§ 5. Неравенство треугольника
- •§ 6. Угол между векторами
- •§ 7. Ортонормированный базис
- •Глава 3. Линейные операторы
- •§ 1. Определение линейного оператора
- •§ 2. Примеры линейных операторов
- •§ 3. Действия над линейными операторами
- •Глава 4. Преобразование координат
- •§ 1. Замена базиса
- •§ 2. Ортогональные преобразования
- •§ 3. Матрица оператора при замене базиса
- •§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему
- •§ 2. Несовместные системы линейных уравнений
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава 6. Собственные векторы и собственные числа
- •§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
- •§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
- •§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
- •§ 3. Малые колебания механических систем
- •Глава 8. Элементы теории метрических пространств
- •§ 1. Определение метрического пространства
- •§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства
- •§ 3. Принцип сжимающих отображений
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для коэффициентов αj , |
|
(j=1,2,...,m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(a1,a1) |
(a2,a1) |
(a j−1,a1) |
(b,a1) |
(a j+1,a1) |
(am,a1) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
α |
|
= |
1 |
|
|
(a1,a2 ) |
(a2,a2 ) |
(a j−1,a2 ) |
(b,a2 ) |
(a j+1,a2 ) |
(am,a2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
|
) |
|
|
|
(a |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(a ,a |
m |
) (a |
2 |
,a |
m |
) |
,a |
m |
(b,a |
m |
) |
j +1 |
,a |
m |
(a |
m |
,a |
m |
) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
j −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.13) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Из изложенного следует, что полученный набор чисел α1, α2,..., αm |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
решает поставленную задачу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
§ 3. Метод наименьших квадратов
На практике часто возникает такая задача: известно, что величина b линейно зависит от величин a1, a2,..., am так, что имеет место равенство
b = x1a1 +x2a2 +...+xmam ,
но коэффициенты x1, x2,..., xm неизвестны. |
Для их определения произведено |
|||
с одинаковой точностью n замеров (здесь |
n >m) величины b, |
то есть |
||
известны числа b1, b2,..., bn и |
соответствующие |
замеры |
величин |
|
a1, a2,..., am , то есть известны числа |
a j1, a j2,..., a jm |
(j=1,2,...,n). Это |
||
значит, что должны выполняться n уравнений системы (5.6). Но вследствие неизвестных ошибок при измерениях эта система будет, вообще говоря, несовместной. Возникает задача по определению коэффициентов x1, x2,..., xm так, чтобы каждое уравнение удовлетворялось приблизительно,
но с общей наименьшей погрешностью. Если за меру погрешности принять
52
среднее квадратичное из отклонений величин
z j =a j1x1 +a j2 x2 +...+a jm xm , (j=1,2,...,n)
от известных величин bj , т.е. выражение (5.7), то придем к задаче, решенной в
§ 2.
Пример
В «Основах химии» Д.И. Менделеева приводятся экспериментальные данные о растворимости азотно-кислого натрия NaNO3 в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворялось следующее число условных частей NaNO3 при соответствующих температурах
Температура |
4° |
10° |
15° |
21° |
29° |
36° |
|
воды |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
|
условных |
71,0 |
76,3 |
80,6 |
85,7 |
92,9 |
99,4 |
|
частей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
NaNO3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоретических соображений следует, что количественная сторона этого процесса может быть описана уравнением
b = x1 a +x2 , |
(5.14) |
где a – температура в градусах, b – растворимость в условных частях на 100 частей воды, а x1 и x2 – неизвестны. Если подставить в уравнение (5.14)
вместо a и b соответствующие числа из данной таблицы, то получим систему
53
из шести уравнений
71=4 x1 +x276,3=10 x1 +x2
80,6=15 x1+x285,7=21 x1+x2 ,
92,9=29 x1+x299,4=36 x1+x2
которая несовместна. В согласии с изложенным в п. 2 введем в рассмотрение 3 вектора
a1 ={4; 10; 15; 21; 29; 36},a2 ={1; 1; 1; 1; 1; 1}, b ={71; 76,3; 80,6; 85,7; 92,9; 99,4},
а затем вычислим 5 скалярных произведений
(a1,a1)=2919, (a1,a2 )=(a2,a1)=115, (a2,a2 )=6, (b,a1)=10328,2, (b,a2 )=505,9.
Система уравнений (5.11) в нашем случае примет вид
2919x1+115x2 |
=10328,2 |
||
|
+6x2 |
|
, |
115x1 |
=505,9 |
||
решив которую получим x1 =0,88; x2 =67,38, так что искомая зависимость
примет вид
b =0,88a +67,38. (5.15)
Если подставить в уравнение значения температуры воды из данной таблицы, то получим числа условных частей NaNO3
70,9; 76,18; 80,58; 85,86; 92,9; 99,06,
что свидетельствует о неплохом совпадении с экспериментальными данными.