46

Таким образом, определитель ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1.

§ 3. Матрица оператора при замене базиса

Легко видеть, что один и тот же линейный оператор в разных базисах имеет различные матрицы. Выясним, как изменяется матрица линейного оператора при изменении базиса. Обозначим через A матрицу некоторого линейного оператора в старом базисе, а через B – матрицу того же самого оператора в новом базисе. Если обозначить через X и Y – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов прообраза и образа в старом базисе, а через X′ и Y′ – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов – прообраза и образа в новом базисе, то сможем написать

откуда следует

Y′=T−1 A T X′.

Сравнивая последнее равенство с (4.12) и используя определение равенства матриц, сможем написать выражение для матрицы рассматриваемого оператора в новом базисе

47

Глава 5. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов

§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему

выберем в нем ортонормированный базис e1, e2,..., ek . Тогда некоторый вектор x можно представить в виде

должен быть ортогонален к каждому из векторов базиса e1, e2,..., ek .

Необходимым и достаточным условием этой ортогональности должно быть выполнение k равенств

48

Подставив выражение для вектора x в (5.3), получим k равенств

(y−x,ei )=(y−x1e1 −x2e2 −...−xkek ,ei )=

(y,ei )−x1(e1,ei )−x2 (e2,ei )−...−xi (ei ,ei )−...−xk (ek ,ei )=0, (i=1,2,...,k).

Отсюда следует существование и единственность разложения (5.2).

§ 2. Несовместные системы линейных уравнений

Рассмотрим несовместную систему линейных уравнений

a11x1+a12 x2 +...+a1mxm =b1;

a x +a x +..+a x =b ;

21 1 22 2 2m m 2 (5.6)

an1x1+an2 x2 +...+anmxm =bn,

относительно неизвестных x1, x2,..., xm . Так как система (5.6) несовместна, то это значит, что не существует такого набора чисел c1, c2,..., cm , которые при подстановке в систему (5.6) вместо неизвестных x1, x2,..., xm обращали бы каждое уравнение системы в тождество.

49

Подставляя различные наборы чисел c1, c2,..., cm вместо неизвестных x1, x2,..., xm в левые части уравнений (5.6), мы будем получать наборы чисел

z1, z2,..., zm .

Требуется найти такой набор чисел c1, c2,..., cm , чтобы среднее квадратное отклонение соответствующих чисел z1, z2,..., zm от данных величин b1, b2,..., bn , т.е. значение выражения

было наименьшим по сравнению с другими возможными значениями. Заметим, что требование отыскать наименьшее значение величины (5.7) означает требование найти такие значения коэффициентов x1, x2,..., xm , для которых

абсолютные величины ошибок z j −bj были в каком-то смысле малыми в

совокупности.

Для решения поставленной задачи введем в рассмотрение m векторов a1, a2,..., am , компонентами которых являются столбцы коэффициентов при

x1, x2,..., xm соответственно, то есть

a1 ={a11, a21,..., an1},a2 ={a12, a22,..., an2},…,am ={a1m, a2m,..., anm},

Обозначим через z линейную комбинацию векторов (5.8), так что

где числа α1, α2,..., αm принимают любые значения.