54
Глава 6. Собственные векторы и собственные числа
§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
|
|
|
|
|
D |
|
|
Пусть в линейном пространстве R задан линейный оператор A. |
|
||||||
Определение. |
Подпространство |
|
R |
′ |
линейного пространства |
R |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
называется инвариантным относительно оператора A, если для всякого |
|||||||
|
|
′ |
|
|
D |
|
|
вектора x из |
подпространства R |
следует, что вектор Ax так |
же |
||||
|
|||||||
принадлежит R′.
Рассмотрим некоторые примеры.
D
Пример 1. Для оператора подобия (линейный оператор A, переводящий каждый вектор x в λx, где λ – фиксированное число, называется оператором подобия) каждое подпространство является инвариантным.
Пример 2. Пусть e1, e2, e3 – базис в трехмерном пространстве R3 , а
|
|
|
|
|
D |
λ1, λ2, λ3 – фиксированные числа. Определим оператор A для векторов |
|||||
базиса условиями |
|
|
|
|
|
D |
|
D |
|
D |
|
Ae1 |
=λ1e1, |
Ae2 |
=λ2e2 , |
Ae3 |
=λ3e3 , |
а для любого другого вектора x = x1e1 +x2e2 +x3e3 условием
D
Ax =λ1x1e1 +λ2 x2e2 +λ3x3e3.
Этот оператор называется диагональным. Каждое подпространство, порожденное некоторыми из базисных векторов e1, e2, e3 , является
D
инвариантным для диагонального оператора A.
55
Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства
D
оператора A.
Определение. Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному
D
инвариантному подпространству оператора A называется собственным
D
вектором оператора A, то есть вектор x ≠0 называется собственным
D D
вектором оператора A, если оператор A переводит вектор x в коллинеарный ему вектор:
D
Ax =λx,
где число λ называется собственным значением (собственным числом)
D
оператора A, соответствующим собственному вектору x .
§ 2. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве
D
Пусть e1, e2, ..., en – базис n -мерного пространства Rn и A – некоторый линейных оператор. Допустим, что вектор
x = |
n |
|
∑ xkek |
|
|
|
k =1 |
|
D |
|
|
есть собственный вектор оператора A, так что |
|
|
D |
|
|
Ax =λx, |
(6.1) |
|
где λ – собственное значение, соответствующее собственному вектору x . Повторив рассуждения, проведенные при получении равенств (3.1), можем
56
записать последнее равенство в координатной форме
a |
|
x |
+a |
|
x |
+...+a |
|
x |
=λx ; |
||
|
11 |
1 |
12 |
2 |
1n |
n |
|
1 |
|||
a21x1+a22 x2 +..+a2nxn =λx2; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n1 |
x |
+a |
|
x |
+...+a |
|
x |
|
=λx , |
|
|
|
1 |
|
n2 2 |
|
nn n |
n |
||||
где |
|
x1, x2, ..., xn |
– координаты |
вектора |
|
x |
в выбранном |
базисе, а |
|||||
a |
i, j=1,2,...,n |
) |
– элементы матрицы A линейного оператора |
D |
|||||||||
A в базисе |
|||||||||||||
ij |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1, e2, ..., en . Систему уравнений (6.2) можно записать в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
|
(a11−λ)x1+a12 x2 +...+a1n xn =0; |
|
||||||||
|
|
|
|
a x |
+(a |
|
−λ)x +..+a |
x =0; |
|
||||
|
|
|
|
|
21 1 |
|
22 |
2 |
|
|
2n n |
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +...+(a |
|
−λ)x =0. |
|
||
|
|
|
|
a |
x |
+a |
n2 |
nn |
|
||||
|
|
|
|
|
n1 1 |
|
|
2 |
|
n |
|
||
Так как искомый собственный вектор ненулевой, то среди его координат x1, x2, ..., xn должна быть хоть одна отличная от нуля, а это значит, что
система (6.3) должна иметь ненулевое решение. Для того чтобы система линейных однородных уравнений (6.3) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю
a11−λ |
a12 |
a13 |
( |
) |
|
a21 |
a22 −λ |
a23 =0. |
|
λ |
|
≡ |
(6.4) |
|||
|
|
|
an1 |
an2 |
ann −λ |
|
57
Уравнение (6.4) называется характеристическим уравнением оператора
D
A. Итак, если вещественное число λ есть какое-нибудь собственное значение
D
оператора A, то оно является корнем характеристического уравнения (6.4) и
наоборот. Отсюда следует, что, найдя вещественное собственное число λ и подставив его в систему (6.3), мы сможем найти координаты соответствующего собственного вектора.
Если все n корней λ1, λ2, ..., λn уравнения (6.4) вещественны и
D
различны, то можно найти n различных собственных векторов оператора A,
решая систему (6.3) n раз последовательно при λ = λ1, λ =λ2,..., λ =λn .
Можно показать, что полученные собственные векторы x1, x2, ..., xn линейно
независимы. Примем их за новый базис. Тогда в этом базисе сами векторы x1, x2, ..., xn имеют соответственно координаты
(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,0...,1)
и n систем уравнений, получающихся из (6.2) для каждого случая, примут вид
a x |
=λ x , a x =0, |
a x |
=0, |
||||||
|
11 1 |
1 1 |
|
12 2 |
|
1n n |
|
||
a21x1=0, |
a22 x2 =λ2 x2, |
a1n xn |
=0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
=0, |
a |
x =0, |
a x |
=λ x , |
|||
|
|
n1 1 |
|
|
|
n2 2 |
|
nn n |
n n |